Tips och lösning till U 22.22b
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Se a-uppgiften
Tips 2
Vi följer mönstret i a-uppgiften dvs
vi går tillväga på följande sätt:
1. Vi vet att vi kan skriva om denna kvadratiska form med en symmetrisk matris så vi börjar med det.
2. Eftersom vi har en symmetrisk matris säger spektralsatsen att vi kan diagonalisera matrisen, dvs vi byter bas till en bas av egenvektorer. Egenvärdena bildar diagonal i den nya matrisen.
3. Eftersom vi bara har element skilda från noll i diagonalen och övriga element i matrisen är noll har vi nått målet att få bort alla blandade termer.
Tips 3
Steg 1 leder till2x_1^2+x_2^2-4x_1x_2-4x_2x_3=1
(x_1\ x_2\ x_3) \left(\begin{array}{rrr}2&-2&0\\-2&1&-2\\0&-2&0\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)=1
(y_1\ y_2\ y_3) \left(\begin{array}{rrr}-2&0&0\\0&1&0\\0&0&4\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}y_1\\y_2\\y_3\end{array}\right)=1
-2y_1^2+y_2^2+4y_3^2=1.
Eftersom ett egenvärde är neg och de övriga pos samt HL större än noll har vi en hyperboloid enl exempel 20.15
Lösning
Ekvationen på matrisform blir
2x_1^2+x_2^2-4x_1x_2-4x_2x_3=1
(x_1\ x_2\ x_3) \left(\begin{array}{rrr}2&-2&0\\-2&1&-2\\0&-2&0\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)=1
Eftersom \displaystyle A är symmetrisk så följer av spektralsatsen att \displaystyle A är
diagonaliserbar, dvs \displaystyle A=TDT^{t} .
Egenvärdena till \displaystyle A är \displaystyle \lambda_1=-2 , \displaystyle \lambda_2=1 och \displaystyle \lambda_3=4 . Tillhörande ON-bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} av egenvektorer är \displaystyle \boldsymbol{f}_1=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{r} 1\\2\\2\end{array}\right) , \displaystyle \boldsymbol{f}_2=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{r} 2\\1\\-2\end{array}\right) resp. \displaystyle \boldsymbol{f}_3=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{r}-2\\2\\-1\end{array}\right) .
Alltså är \displaystyle A diagonaliserbar med \displaystyle A=TDT^{t} , där \displaystyle D=\left(\begin{array}{rrr}-2&0&0\\0&1&0\\0&0&4\end{array}\right) och
\displaystyle T=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{rrr} 1&2&-2\\2&1&2\\2&-2&-2\end{array}\right) är ortogonal. Ekvationen kan i den nya ON-basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} och med nya koordinater \displaystyle Y , där \displaystyle X=TY skrivas
2x_1^2+x_2^2-4x_1x_2-4x_2x_3=1
X^tAX=1 \Leftrightarrow (TY)^tTDT^tTY=1 \Leftrightarrow Y^tT^tTDT^{t}TY=1 \Leftrightarrow Y^tDY=1
(y_1\ y_2\ y_3) \left(\begin{array}{rrr}-2&0&0\\0&1&0\\0&0&4\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}y_1\\y_2\\y_3\end{array}\right)=1
-2y_1^2+y_2^2+4y_3^2=1.
Detta visar att ekvationen beskriver en enmantlad hyperbolid.
