Tips och lösning till U 22.16a
SamverkanLinalgLIU
Vi skall använda sats 19.7 som säger att \displaystyle D= T^tAT .
Tips 2
Vi har matrisen \displaystyle A given och skall alltså finna matrisen \displaystyle T och dess invers. Vi börjar med \displaystyle T.
Tips 3
\displaystyle T är ju den matris som reglerar sambandet mellan baserna och i detta fall har vi en avbildningsmatris som är symmetrisk vilket leder till att vi kan finna en ON-bas av egenvektorer. Dessa normerade egenvektorer är då kolonner i \displaystyle T. Att finna inversen till \displaystyle T innebär i detta fall att transformera \displaystyle T, vilket förenklar.
Lösning
Efetrsom \displaystyle A är symmetrisk följer av spektralsatsen att \displaystyle A har
en ON-bas av egenvektorer. Om vi låter \displaystyle T innehålla i sina
kolonner dem normerade egenvektorena till \displaystyle A , så kommer \displaystyle T att vara ortogonal
samt \displaystyle T^tAT en diagonalmatris.
Vi löser sekularekvationen och får egenvärdena \displaystyle \lambda_1=15 ,
\displaystyle \lambda_2=5 . Tillhörande egenvektorer får vi om vi
löser systemen
(A-\lambda_kE)X_k=\boldsymbol{0},\ k=1,2.
De normerade egenvektorerna är \displaystyle \boldsymbol{v}_1=\frac{1}{\sqrt5}(1,2)^t resp. \displaystyle \boldsymbol{v}_2=\frac{1}{\sqrt5}(-2,1)^t .
Vi får att
\displaystyle T=\frac{1}{\sqrt5} \left(\begin{array}{rr} 2&1\\{-2}&1 \end{array}\right).
Med denna matris
\displaystyle T får vi att
T^tAT= \left(\begin{array}{rr} {15}&{0}\\{0}&{5} \end{array}\right)=D.
