SamverkanLinalgLIU

16.1 Definition av linjär avbildning

16.2 Matrisframställning

16.3 Projektion och spegling

16.4 Plan rotation

16.5 Rotation i rummet

16.6 Sammansatta linjära avbildningar

16.7 Nollrum, Värderum och dimensionssatsen

16.8 Basbyte

16.9 Linjära avbildningar och basbyte

16.10 Projektioner och speglingar med basbyte

16.11 Rotationer

Innehåll 1 Sammansatta linjära avbildningar 2 Nollrum, Värderum och dimensionssatsen 3 Basbyte 4 Linjära avbildningar och basbyte 5 Projektioner och speglingar med basbyte 6 Rotationer

Sammansatta linjära avbildningar

Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning Bild:Kap16 6.pdf

Övningar

1. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} vara en bas för \displaystyle V, där dim \displaystyle V=2. Antag att \displaystyle F:V\rightarrow V är en linjär avbildning som uppfyller

\displaystyle \left\{\begin{array}{lcr}F(\boldsymbol{e}_1)&=&\frac{1}{\sqrt2}(\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2)\\ F(\boldsymbol{e}_2)&=&\frac{1}{\sqrt2}(-\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2)\end{array}\right.

Bestäm matrisen för \displaystyle F^2 i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}.

Nollrum, Värderum och dimensionssatsen

Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning Bild:Kap16 7.pdf

Övningar

1. Låt \displaystyle F vara en avbildning på rummet som i basen \displaystyle \boldsymbol{e} ges av matrisen

\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr} 3& -1& -1\\ 2& 0& -1\\ 4& -2& -1\end{array}\right).

Bestäm \displaystyle N(F) och \displaystyle V(F). Visa \displaystyle N(F)\cap V(F)=\boldsymbol{0}. Hur avbildas vektorerna i och \displaystyle V(F)?

2. Avbildningen \displaystyle F på rummet ges i ON-basen \displaystyle \boldsymbol{e} av matrisen

\displaystyle \left(\begin{array}{rrr} 2& -1& -1\\ 1& 0& -1\\ 1& -1&0 \end{array}\right)

och \displaystyle G är ortogonal projektion på linjen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}[(1,1,1)]^t. Bestäm Visa \displaystyle V(F)\cap N(G).

3. Avbildningen \displaystyle F på rummet ges i ON-basen \displaystyle \boldsymbol{e} av matrisen

\displaystyle \left(\begin{array}{rrr} 1& -2& 1\\ 1& -3& 2\\ 1& 2&-3 \end{array}\right).

Bestäm baser för \displaystyle N(F), \displaystyle V(F), \displaystyle N(F)\cap V(F), \displaystyle N(F^2) och \displaystyle V(F^2).

4. Givet en ON-bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} i \displaystyle {\bf E}^3. I denna bas ges avbildningen \displaystyle F av matrisen

\displaystyle \frac{1}{3}\left(\begin{array}{rrr} -2& 1& 1\\ 1& -2& 1\\ 1& 1&-2 \end{array}\right).

Inför en ny bas bestående av vektorer ur \displaystyle N(F) och \displaystyle V(F). Ange sambandet för \displaystyle F i den nya basen. Tolka \displaystyle F geometriskt.

5. Låt \displaystyle M_{22} vara vektorrummet av alla \displaystyle 2\times matriser. Definiera avbildningen \displaystyle F genom

\displaystyle F(A)=\left(\begin{array}{rr} 1&1 \\0 &0 \end{array}\right)A+A\left(\begin{array}{rr} 0&0 \\ 1& 1\end{array}\right).

1. Visa att \displaystyle F är en linjär avbildning på \displaystyle M_{22} .
2. Bestäm dim \displaystyle N(F) samt en bas i \displaystyle N(F)

6. Konstruera en matris som representerar en linjär avbildning \displaystyle F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3 med

\displaystyle N(F)=[(1,1,1)^t]

och

\displaystyle V(F)=[(1,0,0)^t,(1,1,0)^t].

7. Den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3 ges i en given bas av matrisen

\displaystyle \left(\begin{array}{ccc} 1& a+3& a\\ a& 3a+1& 1\\ 2& 4a+4& a+1\end{array}\right),\qquad a\in{\bf R}

Ange alla reella tal \displaystyle a sådana att dim \displaystyle V(F)=1 och ange i så fall en bas för \displaystyle V(F).

8. Den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3 ges i en given bas av matrisen

\displaystyle \left(\begin{array}{ccc} 1& 1& 3\\ 2& 2& 2a\\ a& -1& 1\end{array}\right),\qquad a\in{\bf R}

Ange alla reella tal \displaystyle a sådana att \displaystyle N(F)\cap V(F)\neq\emptyset.

9. Bestäm matrisen till den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3 som i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} avbildar de tre vektorerna \displaystyle (1,2,1)^t, \displaystyle (1,1,-1)^t och \displaystyle (-1,0,1)^t på \displaystyle (1,3,1)^t, \displaystyle (3,1,2)^t resp. \displaystyle (5,-1,3)^t. Bestäm också \displaystyle V(F).

Basbyte

Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning Bild:Kap16 8.pdf

Övningar

1. Givet två baser \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} och \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2,\boldsymbol{f}_3\}. Ange följande bassamband

\displaystyle \left\{\begin{array}{rclclcl}

\boldsymbol{f}_1&=&\boldsymbol{e}_1&+&\boldsymbol{e}_2&+&\boldsymbol{e}_3\\ \boldsymbol{f}_2&=& & &\boldsymbol{e}_2&-&\boldsymbol{e}_3\\

\boldsymbol{f}_3&=&\boldsymbol{e}_1&+&\boldsymbol{e}_2&&\end{array}\right.

på matrisform. Ange också det omvända bassambandet samt koordinatsambanden.

2. Givet en bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\} i planet. Vi inför en ny bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2\} genom att sätta \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\underline{\boldsymbol{e}}T, där \displaystyle T=\left(\begin{array}{rr} 2& 3\\ 1& 2\end{array}\right). En linje har ekvationen \displaystyle x_1+7x_2=0 i den gamla basen. Vad är dess ekvationen i den nya basen?

Linjära avbildningar och basbyte

Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning Bild:Kap16 9.pdf

Övningar

1. Den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R}^2\rightarrow{\bf R}^2 har i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\} har matrisen

\displaystyle A_{\boldsymbol{e}}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{rr} 1& 1\\ -1& 1\end{array}\right).

Ange \displaystyle F:s matris \displaystyle A_{\boldsymbol{f}} i basen

\displaystyle \boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2,\qquad \boldsymbol{f}_2=-\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2.

Ange också sambandet mellan koordinaterna i de båda baserna.

2. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} var en bas i rummet och \displaystyle F en linjär avbildning med matrisen

\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr} 2& 0& 1\\ 1& -1& 0\\ 2& 2& 1\end{array}\right).

i denna bas. Vad är matrisen för \displaystyle F i den bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} som ges av

\displaystyle

\boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_2-\boldsymbol{e}_3,\qquad \boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3,\qquad

\boldsymbol{f}_3=-\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2.

3. Avbildningen \displaystyle F har i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} matrisen

\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr} 2& 0& 1\\ 1& -1& 0\\ 2& 2& 1\end{array}\right).

Bestäm \displaystyle F:s matris i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} om

\displaystyle

\boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2,\qquad \boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3,\qquad

\boldsymbol{f}_3=\boldsymbol{e}_1.

4. Antag att \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} är en bas i \displaystyle {\bf R}^3 och låt den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3 definieras genom

\displaystyle

F(\boldsymbol{e}_1)=\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_3,\qquad F(\boldsymbol{e}_2)=\boldsymbol{e}_1+3\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3\qquad

F(\boldsymbol{e}_3)=2\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3.

Bestäm matrisen till \displaystyle F med avseende på basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2,\boldsymbol{f}_3\}, där

\displaystyle

\boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_1\qquad \boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2,\qquad

\boldsymbol{f}_3=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3.

5. Visa att matriserna

\displaystyle

A=\left(\begin{array}{rrr} 0& -1& 0\\ 1& 0& 1\\ 1& 2& 3\end{array}\right)\qquad och\qquad

B=\left(\begin{array}{rrr} 1& 0& 1\\ 1& 2& 0\\ -1& 0& 3\end{array}\right)

ej kan representera samma linjära avbildning \displaystyle F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3.

Projektioner och speglingar med basbyte

Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning Bild:Kap16 10.pdf

Övningar

1. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\} vara en ON-bas i planet. Inför en ny bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2\} genom

\displaystyle

\left\{\begin{array}{lcl}\boldsymbol{f}_1&=&\frac{1}{\sqrt5}(\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2)\\ \boldsymbol{f}_2&=&\frac{1}{\sqrt5}(2\boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2)\end{array}\right.

Låt \displaystyle F vara ortogonal projektion på linjen \displaystyle x_1+2x_2=0. Ange \displaystyle F:s matris i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} och beräkna med hjälp av bassambandet \displaystyle F:s matris i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}.

2. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\} vara en ON-bas i planet. Inför en ny bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2\} genom

\displaystyle

\left\{\begin{array}{lcl}\boldsymbol{f}_1&=&\frac{1}{\sqrt5}(\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2)\\ \boldsymbol{f}_2&=&\frac{1}{\sqrt5}(2\boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2)\end{array}\right.

Låt \displaystyle F vara spegling i linjen \displaystyle x_1+2x_2=0. Ange \displaystyle F:s matris i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} och beräkna med hjälp av bassambandet \displaystyle F:s matris i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}.

3. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} vara en ON-bas i rummet och låt \displaystyle F vara en ortogonal projektion på planet \displaystyle x_1+x_2+x_3=0. Välj en lämplig ny bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} och ange \displaystyle F:s matris i denna. Beräkna med hjälp av bassambanden matrisen i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}.

Rotationer

Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning Bild:Kap16 11.pdf

Övningar

1. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} vara en höger ON-bas i rummet och \displaystyle F rotation \displaystyle 2\pi/3 i positiv led runt \displaystyle \boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3. Beräkna avbildningens matris i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}.