Tips och lösning till U 7.2
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Hej 1
Tips 2
Hej 2
Tips 3
Hej 3
Lösning
En matris som komuterar med alla matriser är förstås enhetsmatrisen, ty \displaystyle A, ty \displaystyle AE=EA. En annan matris som kommuterar med \displaystyle A är matrisen själv, ty \displaystyle AA=AA. Vi tar och bestämmer alla matriser \displaystyle B som kommunterar med \displaystyle A, dvs \displaystyle AB=BA.
Låt \displaystyle B=\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix}. Det gäller att
AB=BA\Leftrightarrow \begin{pmatrix}1&2\\4&7\end{pmatrix} \begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&2\\4&7\end{pmatrix}
\Leftrightarrow \begin{pmatrix}a+2c&b+2d\\4a+7c&4b+7d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+4b&2a+7b\\c+4d&2c+7d\end{pmatrix} \Leftrightarrow\left(\begin{array}{cc|cc}{-4b+2c}&{-2a-6b+2d}&0&0\\{4a-6c-4d}&{4b-2c}&0&0\end{array}\right).
Varje komponent i systemet måste alltså uppfylla
\left\{\begin{array}{rcl}-4b+2c&=&0\\-2a-6c+2d&=&0\\4a-6b-4d&=&0\\4b-2c&=&0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl}2b-c&=&0\\a+3c-d&=&0\end{array}\right.
Detta ger att \displaystyle c=2b och \displaystyle a=-3c+d.
Sätter vi \displaystyle d=t och \displaystyle b=s får vi \displaystyle c=2s och \displaystyle a=-3s+t.
Matrisen \displaystyle B ges alltså av
B=\begin{pmatrix}{-3s+t}&{s}\\{2s}&{t}\end{pmatrix} =s \begin{pmatrix}{-3}&1\\2&0 \end{pmatrix}+t \begin{pmatrix} 1&0\\0&1 \end{pmatrix}.
Alltså ges de matriser \displaystyle B som kommuterar med \displaystyle A av de som är en linjärkombination av matriserna
\displaystyle \begin{pmatrix}{-3}&1\\2&0 \end{pmatrix} och \displaystyle \begin{pmatrix} 1&0\\0&1 \end{pmatrix}.
Observera att om sätter \displaystyle s=2 och \displaystyle t=7 i \displaystyle B så får vi tillbaka matrisen \displaystyle A.
Alla matrsier \displaystyle C\neq\begin{pmatrix}{-3s+t}&{s}\\{2s}&{t}\end{pmatrix}
kommuterar inte med \displaystyle A. T.ex., \displaystyle C=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}.
