Tips och lösning till övning 3.9a
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Definition 2.1 ger dej definitionen på linjärkombination.
Tips 2
Sätt tex \displaystyle \boldsymbol{u} = \begin{pmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\end{pmatrix}. Definition av linjärkombination leder då till ekvationssystemet \displaystyle \lambda_1 \boldsymbol{v}_1 +\lambda_2 \boldsymbol{v}_2=\boldsymbol{u}\Leftrightarrow\lambda_1 \begin{pmatrix}{2}\\{1}\\{1}\end{pmatrix}+\lambda_2 \begin{pmatrix}{1}\\{1}\\{1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\end{pmatrix}
Tips 3
Lös nu ekvationssystemet genom att multiplicera in dina lambda. Detta leder till en plan genom origo.
Lösning
\displaystyle U är mängden av alla \displaystyle \boldsymbol{u} = \begin{pmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\end{pmatrix} sådana att
\Leftrightarrow \lambda_1 \begin{pmatrix}{2}\\{1}\\{-1}\end{pmatrix}+\lambda_2 \begin{pmatrix}{1}\\{1}\\{1}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\end{pmatrix} \Leftrightarrow
\left(\begin{array}{rr} 2&1\\ 1&1\\ -1&1 \end{array}\right|\left.\begin{array}{c} x_1\\x_2\\ x_3\end{array}\right).Vi utnyttjar rad 2 till att skaffa oss nollor längs första kolonnen och får
\left(\begin{array}{rr} 0&-1\\ 1&1\\ 0&2 \end{array}\right|\left.\begin{array}{l} x_1-x_2\\x_2\\ x_2+x_3\end{array}\right) \Leftrightarrow
\left(\begin{array}{rr} 0&-1\\ 1&1\\ 0&0 \end{array}\right|\left.\begin{array}{l} x_1-x_2\\x_2\\ 2x_1-3x_2+x_3\end{array}\right).För att undvika en motsägelse i sista raden måste vi kräva att
Detta betyder att
är ett plan genom origo.
