Tips och lösning till U 5.3a
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Hej 1
Tips 2
Hej 2
Tips 3
Hej 3
Lösning
Vi börjar med att bestämma dem vektorer
\displaystyle \boldsymbol{u}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\ x_3\end{pmatrix}
som är ortogonala mot
både
\displaystyle \boldsymbol{v}_1=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}
och
\displaystyle \boldsymbol{v}_1=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}.
Därefter normerar vi dessa \displaystyle \boldsymbol{u} .
Vi vet sen tidigare att två vektorer är ortogonala om deras
skalärprodukt är noll. Vi får alltså systemet
\left\{\begin{array}{rcr} \boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v}_1 &=& \boldsymbol{0}\\ \boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v}_2 &=& \boldsymbol{0}\\ \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcrcrcr}x_1&+&2x_2&+&3x_3&=&0\\x_1&&&+&x_3&=&0\end{array}\right.
som har lösningen \displaystyle x_1=t,\ x_2=t,\ x_3=-t . De sökta vektorerna har formen \displaystyle \boldsymbol{u}=t\begin{pmatrix}1\\1\\ -1\end{pmatrix} , \displaystyle t\in{\bf R} med längden \displaystyle |\boldsymbol{u}|=|t|\sqrt3 . De sökta vektorerna är alltså dem erhållna \displaystyle \boldsymbol{u} men med längd 1, dvs \displaystyle \pm\frac{1}{\sqrt3} \begin{pmatrix}1\\1\\ -1\end{pmatrix} .
