Tips och lösning till U 22.19a
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Hej 1
Tips 2
Hej 2
Tips 3
Hej 3
Lösning
Vi börjar med att observera att \displaystyle F är
symmetrisk. Då har \displaystyle F en ON-bas av egenvektorer
och därmed är \displaystyle F :s matris \displaystyle A_1 diagonaliserbar.
Löser vi sekularekvationen så får vi egenvärdena
\displaystyle \lambda_1=0 , \displaystyle \lambda_2=\lambda_3=1 .
Eftersom ett egenvärde är 0 så är \displaystyle \det A_1=0 .
Tillhörande egenrum är \displaystyle E_{\lambda=0}=[(1,1,1)^t]
resp.
E_{\lambda=1}=[(1,-1,0)^t,(1,1,-2)^t]=\{\boldsymbol{x}\in{\bf R}^3:\ x_1+x_2+x_3=0.\}.
Därmed följer den geometriska tolkningen att \displaystyle F :s nollrum \displaystyle N(F)
är linjen \displaystyle E_{\lambda=0} och att \displaystyle F :s värderum \displaystyle V(F)
är planet \displaystyle E_{\lambda=1} .
Precis som spektralsatsen säger så är underrummen \displaystyle E_{\lambda=0} och \displaystyle E_{\lambda=1} ortogonala. Egenvektorn (normalen) \displaystyle (1,1,1)^t avbildas på nollvektorn och planet \displaystyle E_{\lambda=1} avbildas på sig självt. Alltså är \displaystyle F en orogonal projektion på planet \displaystyle x_1+x_2+x_3=0 .
Den geometriska tolkningen av \displaystyle F följer också av att matrisen \displaystyle A_1 är diagonaliserbar
A_1=TD_1T^{t}= \frac{1}{\sqrt6} \left(\begin{array}{rrr} \sqrt2&\sqrt3&1\\ \sqrt2&-\sqrt3&1\\ \sqrt2&0&-2 \end{array}\right) \left(\begin{array}{rrr} 0&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array}\right) \frac{1}{\sqrt6} \left(\begin{array}{rrr} \sqrt2&\sqrt2&\sqrt2\\ \sqrt3&-\sqrt3&0\\ 1&1&-2 \end{array}\right)
där vi har normerat egenvektorerna.
Ett basbyte till en ny bas av egenvektorer visar att matrisen i den nya
basen är \displaystyle D_1 . Ur \displaystyle D_1 kan vi utläsa att \displaystyle F är en ortogonal
projektion i planet som
spänns upp av \displaystyle (1,-1,0)^t och \displaystyle (1,1,-2)^t
parallellt med normalen \displaystyle (1,1,1)^t .
