Tips och lösning till U 22.12b
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Hej 1
Tips 2
Hej 2
Tips 3
Hej 3
Lösning
Vi bestämmer för \displaystyle a=4 dem övriga egenvärdena till \displaystyle F .
Vi väljer här att inte lösa sekularekvationen som vi alltid har gjort
utan utnyttjar att vi redan känner till en egenvektor.
Spektralsatsen säger att egenvektorerna till en symmetrisk avbildning
är ortogonala.
Låt t.ex., \displaystyle \boldsymbol{v}_2=t(2,1,2)^t . Då är \displaystyle (\boldsymbol{v}_1|\boldsymbol{v}_2)=0 . Vidare är
F(\boldsymbol{v}_2)=\lambda_2 \boldsymbol{v}_2 \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrr}3&2&2\\2&2&0\\2&0&4\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}2\\1\\2\end{array}\right) =\lambda_2 \left(\begin{array}{r}2\\1\\2\end{array}\right) \Leftrightarrow \left(\begin{array}{r}12\\6\\12\end{array}\right) =\left(\begin{array}{r}2\lambda_2\\\lambda_2\\2\lambda_2\end{array}\right)
Alltså är \displaystyle \lambda_2=6 .
Till sist låter vi
som är ortogonal mot både \displaystyle \boldsymbol{v}_1 och \displaystyle \boldsymbol{v}_2 .
