Tips och lösning till U 22.12a
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Hej 1
Tips 2
Hej 2
Tips 3
Hej 3
Lösning
Vektorn \displaystyle \boldsymbol{v}_1=\underline{\boldsymbol{e}}(1,2,-2)^t är en egenvektor till \displaystyle F om det finns ett tillhörande egenvärde \displaystyle \lambda_1 så att
\begin{array} F(\boldsymbol{v}_1)=\lambda_1 \boldsymbol{v}_1 &\Leftrightarrow& F(\underline{\boldsymbol{e}}(1,2,-2)^t)=\lambda_1 \underline{\boldsymbol{e}}(1,2,-2)^t\\ &\Leftrightarrow&\underline{\boldsymbol{e}}A (1,2,-2)^t = \underline{\boldsymbol{e}}\lambda_1 (1,2,-2)^t \Leftrightarrow A (1,2,-2)^t=\lambda (1,2,-2)^t\\ &\Leftrightarrow& \left(\begin{array}{rrr}3&2&2\\2&2&0\\2&0&a\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}1\\2\\-2\end{array}\right) =\lambda \left(\begin{array}{r}1\\2\\-2\end{array}\right)\\ &\Leftrightarrow& \left(\begin{array}{r}3\\6\\2-2a\end{array}\right) =\left(\begin{array}{r}\lambda\\2\lambda\\-2\lambda\end{array}\right) \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl}\lambda&=&3\\a&=&4\end{array}\right. \end{array}