Tips och lösning till U 22.11
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Hej 1
Tips 2
Hej 2
Tips 3
Hej 3
Lösning
Avbildningen \displaystyle F är symmetrisk och då säger spektralsatsen att \displaystyle F har en ON-bas av egenvektorer. Vi löser sekularekvtionen
\det(A-\lambda E)= \left| \begin{array}{rrr}{-\lambda}&0&1\\0&{1-\lambda}&0\\1&0&{-\lambda}\end{array}\right| =(1-\lambda) \left( \begin{array}{rr}{-\lambda}&1\\1&{-\lambda} \end{array}\right) =(1-\lambda)(\lambda^2-1)=0
för \displaystyle \lambda_{1,2}=1 och \displaystyle \lambda_3=-1 .
För \displaystyle \lambda_{1,2}=1 löser vi systemet \displaystyle (A-1\cdot E)=\boldsymbol{0} och får
\left(\begin{array}{rrr}-1&0&1\\0&0&0\\1&0&-1\end{array}\right|\left. \begin{array}{r} 0\\0\\0\end{array}\right) \Leftrightarrow x_1-x_3=0.
Sätt \displaystyle x_3-t och \displaystyle x_2=s . Då är \displaystyle x_1=t .
Tillhörande egenvektorer är \displaystyle \boldsymbol{v}_1=s(0,1,0)^t och \displaystyle \boldsymbol{v}_2=t(1,0,1)^t .
För \displaystyle \lambda_3=-1 får vi systemet
\left(\begin{array}{rrr}1&0&1\\0&2&0\\1&0&1\end{array}\right|\left. \begin{array}{r} 0\\0\\0\end{array}\right) \Leftrightarrow \boldsymbol{v}_3=t(1,0,-1)^t.
En ON-bas blir därmed
\displaystyle (0,1,0)^t , \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,1)^t och \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,-1)^t .
