Tips och lösning till U 22.10
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Hej 1
Tips 2
Hej 2
Tips 3
Hej 3
Lösning
Eftersom \displaystyle F är symmetrisk så följer av spektralsatsen att \displaystyle F har en ON-bas av egenvektorer.
Utnyttja symmetrin i sekularekvationen
\det(A-\lambda E)= \left| \begin{array}{rrr}{1-\lambda}&2&3\\2&{2-\lambda}&2\\3&2&{1-\lambda}\end{array}\right| =\{\mbox{k3}-\mbox{k1}\} =\left| \begin{array}{rrr}{1-\lambda}2{2+\lambda}2{2-\lambda}032{-2-\lambda}.\end{array}\right|
Vi adderar rad 1 till rad 3 får vi
\left| \begin{array}{rrr}{1-\lambda}&2&{2+\lambda}\\2&{2-\lambda}&0\\{4-\lambda}&4&0 \end{array}\right| =(-1)^{1+2}(2+\lambda)(8-(2-\lambda)(4-\lambda))=-(2+\lambda)\lambda(6-\lambda)=0
för \displaystyle \lambda=-2,0,6 .
Egenvektorerna \displaystyle \boldsymbol{v}_k , \displaystyle k=1,2,3 får vi genom att
lösa det homogena ekvationssystemet \displaystyle (A-\lambda_k E)X=\boldsymbol{0} .
För \displaystyle \lambda_1=-2 får vi tillhörande egenvektorn
\displaystyle \boldsymbol{v}_1=t(1,0,-1)^t , för \displaystyle \lambda_1=0 får vi
\displaystyle \boldsymbol{v}_2=t(1,-2,1)^t , och för \displaystyle \lambda_1=6 är
\displaystyle \boldsymbol{v}_3=t(1,1,1)^t . Eftersom egenvektorerna är
ortogonala behöver vi bara normera dem. Vi får därmed ON-basen
\displaystyle \frac{1} {\sqrt{2}}(1,0,-1)^t ,
\displaystyle \frac{1}{\sqrt{6}}(1,-2,1)^t och
\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)^t .
