Tips och lösning till U 22.8c
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Hej 1
Tips 2
Hej 2
Tips 3
Hej 3
Lösning
Vi subtraherar rad 2 från rad 3 i sekularekvationen
0=\left|\begin{array}{ccc} -1-\lambda&3&-1\\ -3&5-\lambda&-1\\ -3&3&1-\lambda \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} -1-\lambda&3&-1\\ -3&5-\lambda&-1\\ 0&-2+\lambda&2-\lambda \end{array}\right|
= \left|\begin{array}{ccc} -1-\lambda&2&-1\\ -3&4-\lambda&-1\\ 0&0&2-\lambda \end{array}\right| =(2-\lambda)[(-1-\lambda) (4-\lambda)+6] =(2-\lambda)(\lambda-2)(\lambda-1)
Egenvärdena är \displaystyle \lambda_1=1 , \displaystyle \lambda_{2,3}=2 .
För \displaystyle \lambda_1=1 är tillhörande egenvektorn \displaystyle t(1,1,1)^t .
För \displaystyle \lambda_{2,3}=2 får vi
\left(\begin{array}{rrr} -3&3&-1\\ -3&3&-1\\ -3&3&-1\\ \end{array}\right) \Leftrightarrow 3x_1-3x_2+x_3=0.
Tillhörande egenvektorer kan vi välja ur egenrummet
\displaystyle E_{\lambda=2}=\{\boldsymbol{x}\in{\bf R}^3:\ 3x_1-3x_2+x_3=0] .
T.ex., kan vi välja \displaystyle t(1,1,0)^t , \displaystyle (1,0,-3)^t .
Därmed kan vi med egenvektorerna i matrisen
\displaystyle T=\left(\begin{array}{rrr}
1&1&1\\
1&1&0\\
1&0&-3\\
\end{array}\right)
, där
\displaystyle
T^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}
3&-3&1\\
-3&4&-1\\
1&-1&0
\end{array}\right)
diagonalisera \displaystyle A , så att
T^{-1}AT=\left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&2&0\\0&0&2 \end{array}\right)=D.
