Tips och lösning till U 22.8b
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Hej 1
Tips 2
Hej 2
Tips 3
Hej 3
Lösning
Vi adderar (-2) gånger rad 1 till rad 2 i sekularekvationen
0=\left|\begin{array}{ccc}{1-\lambda}&{-3}&{4}\\{4}&{-7-\lambda}&{8}\\{6}&{-7}&{7-\lambda}\end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc}{1-\lambda}&{-3}&{4}\\{2+2\lambda}&{-1-\lambda}&{0}\\{6}&{-7}&{7-\lambda}\end{array}\right|
= \{\mbox{2 gånger kolonn1 adderas till kolonn 1}\} = \left|\begin{array}{ccc}{1-\lambda}&{-5-\lambda}&{4}\\{2+2\lambda}&{0}&{0}\\{6}&{-8}&{7-\lambda}\end{array}\right|
=-(2+2\lambda)[(-5-\lambda)(7-\lambda)+32] =-2(1+\lambda)^2(\lambda-3)
Egenvärdena är \displaystyle \lambda_1=3 , \displaystyle \lambda_{2,3}=-1 .
Vi får tillhörande egenvektorer då vi löser \displaystyle (A-\lambda E)X=\boldsymbol{0} .
För \displaystyle \lambda_1=3 får vi egenvektorn \displaystyle t(1,2,2)^t .
För \displaystyle \lambda_{2,3}=-1 får vi
\left(\begin{array}{ccc|r} 2&-3&4\\ 4&-6&8\\ 6&-7&8 \end{array}\right|\left. \begin{array}{r}0\\0\\0 \end{array}\right) \Leftrightarrow \left(\begin{array}{ccc} 2&-3&4\\ 0&0&0\\ 0&2&-4 \end{array}\right|\left. \begin{array}{r}0\\0\\0 \end{array}\right) \Leftrightarrow x_2-2x_2=0.
Sätt \displaystyle x_3=t , så får vi \displaystyle x_2=2t och \displaystyle x_1=t .
Tillhörande egenvektor är därmed \displaystyle t(1,2,1)^t .
Den geometriska multipliciteten är mindre än den algebraiska och
därmed kan vi inte hitta en matris \displaystyle T så att vi kan diagonalisera \displaystyle A ,
så att \displaystyle A=TDT^{-1} .
