Tips och lösning till U 22.8a
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Hej 1
Tips 2
Hej 2
Tips 3
Hej 3
Lösning
Vi observerar först att matrisen \displaystyle A inte är symmetrisk, så
spektralsatsen kan inte garantera att \displaystyle A är diagonaliserbar.
Vi utvecklar längs rad 3 i sekularekvationen och får
\left|\begin{array}{ccc}{-3-\lambda}&{-1}&{-1}\\{8}&{2-\lambda}&{1}\\{-2}&{0}&{1-\lambda}\end{array}\right| =\lambda(1-\lambda)(1+\lambda)=0
för \displaystyle \lambda_1=1 , \displaystyle \lambda_2=0 och \displaystyle \lambda_3=-1 .
Tillhörande egenvektorer är \displaystyle \boldsymbol{v}_1=t(0,-1,1)^t ,
\displaystyle \boldsymbol{v}_2=(-1,5,-2)^t resp. \displaystyle \boldsymbol{v}_3=t(1,-3,1)^t .
Låt \displaystyle T innehålla i sina kolonner egenvektorerna. Då är
T=\left(\begin{array}{rrr}0&{-1}&1\\{-1}&5&{-3}\\1&{-2}&1 \end{array}\right),\ \ \ T^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1&1&2\\2&1&1\\3&1&1 \end{array}\right),
och
T^{-1}AT=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&0&0\\0&0&{-1}\end{array}\right)=D.
