Tips och lösning till U 22.3b

Tips 1

Hej 1

Tips 2

Hej 2

Tips 3

Hej 3

Lösning

Enligt a) så är egenvärdena \displaystyle \lambda_1=1 , \displaystyle \lambda_{2,3}=3 .

Tillhörande egenvektorer \displaystyle \boldsymbol{v}_k , \displaystyle k=1,2,3, får vi om vi löser systemen \displaystyle F(\boldsymbol{v}_k)=\lambda_k \boldsymbol{v}_k=\underline{\boldsymbol{e}}X_k , \displaystyle k=1,2,3, .

För \displaystyle \lambda_1=1 får vi

               \underline{\boldsymbol{e}}AX_1=\underline{\boldsymbol{e}}\lambda_1 X \\
               &\Leftrightarrow & (A-\lambda_1 E)X_1=\boldsymbol{0}\Leftrightarrow (A-1\cdot E)X_1=\boldsymbol{0}\\
              &\Leftrightarrow &

Rad 2 ger att \displaystyle x_2=0 som insatt i rad 1 ger att även \displaystyle x_1=0 . Rad 3 visar att \displaystyle x_3 kan anta alla värden, dvs vi sätter \displaystyle x_3=t och får att \displaystyle X_1=t \left(\begin{array}{r}0\\0\\1\end{array}\right) , dvs \displaystyle \boldsymbol{v}_1=t\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{r}0\\0\\1\end{array}\right) .

För \displaystyle \lambda_{2,3}=3 får vi systemet \displaystyle \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrr}0&1&0\\0&0&0\\0&0& -2 \end{array}\right|\left. \begin{arrayr}{r} 0\\0\\0\end{array}\right) som har lösningen \displaystyle x_2=0 , \displaystyle x_3=0 och \displaystyle x_1=t , dvs \displaystyle X_{2,3}=t \left(\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right) , dvs \displaystyle \boldsymbol{v}_{2,3}=t\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right) .

Observera att till egenvärdena \displaystyle \lambda_{2}=\lambda_{3}=3 finns endast en egenvektor. Alltså är

             \displaystyle  \lambda_1=1  med \displaystyle  E_{\lambda_1}=[(0,0,1)^t]  och
             \displaystyle  \lambda_{2,3}=3  med \displaystyle  E_{\lambda_{2,3}}=[(1,0,0)^t] .