Tips och lösning till U 22.3b

Tips 1

Hej 1

Tips 2

Hej 2

Tips 3

Hej 3

Lösning

Enligt a) så är egenvärdena \displaystyle \lambda_1=1 ,

               \displaystyle  \lambda_{2,3}=3 . 

Tillhörande egenvektorer \displaystyle \boldsymbol{v}_k , \displaystyle k=1,2,3, får vi om vi löser systemen \displaystyle F(\boldsymbol{v}_k)=\lambda_k \boldsymbol{v}_k=\underline{\boldsymbol{e}}X_k , \displaystyle k=1,2,3, .

För \displaystyle \lambda_1=1 får vi \begin{eqnarray*} F(\boldsymbol{v}_1)=\lambda_1 \boldsymbol{v}_1 &\Leftrightarrow& F(\underline{\boldsymbol{e}}X_1)=\lambda_1 \underline{\boldsymbol{e}}X_1\Leftrightarrow

               \underline{\boldsymbol{e}}AX_1=\underline{\boldsymbol{e}}\lambda_1 X \\
               &\Leftrightarrow & (A-\lambda_1 E)X_1=\boldsymbol{0}\Leftrightarrow (A-1\cdot E)X_1=\boldsymbol{0}\\
              &\Leftrightarrow &\left(\begin{tabular}{ccc|c}2&1&0&0\\0&2&0&0\\0&0&0&0\end{tabular}\right).

\end{eqnarray*}

Rad 2 ger att \displaystyle x_2=0 som insatt i rad 1 ger att även \displaystyle x_1=0 . Rad 3 visar att \displaystyle x_3 kan anta alla värden, dvs vi sätter \displaystyle x_3=t och får att

             \displaystyle  X_1=t\rvekt001 , dvs \displaystyle  \boldsymbol{v}_1=t\underline{\boldsymbol{e}}\rvekt001 .

För \displaystyle \lambda_{2,3}=3 får vi systemet \displaystyle \Leftrightarrow \left(\begin{tabular}{ccc|c}0&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0& -2\displaystyle &0\end{tabular}\right) som har lösningen \displaystyle x_2=0 , \displaystyle x_3=0 och \displaystyle x_1=t , dvs \displaystyle X_{2,3}=t\rvekt100 , dvs \displaystyle \boldsymbol{v}_{2,3}=t\underline{\boldsymbol{e}}\rvekt100 .

Observera att till egenvärdena \displaystyle \lambda_{2}=\lambda_{3}=3 finns endast en egenvektor.

Alltså är \displaystyle \lambda_1=1 med \displaystyle E_{\lambda_1}=[(0,0,1)^t] och \displaystyle \lambda_{2,3}=3 med \displaystyle E_{\lambda_{2,3}}=[(1,0,0)^t] .