Tips och lösning till U 22.1a

Tips 1

Hej 1

Tips 2

Hej 2

Tips 3

Hej 3

Lösning

Kalla avbildningen \displaystyle P . Då följer av egenskaperna hos \displaystyle P att normalen \displaystyle \boldsymbol{n} till det givna planet avbildas på nollvektor, dvs

Alltså är \displaystyle \lambda_1=0 ett egenegvärde med tillhörande egenvektor \displaystyle \boldsymbol{n}=t(1,1,1)^t och egenrummet är \displaystyle E_{\lambda=0}=[(1,1,1)^t] .

Vidare följer också att om \displaystyle \boldsymbol{v} är en godtycklig vektor parallell med planet så projiceras den på sig själv, dvs \displaystyle P(\boldsymbol{v})=1\cdot \boldsymbol{v} . Eftersom \displaystyle \boldsymbol{v} var godtycklig gäller detta alla vektorer parallella med planet, dvs \displaystyle \lambda_{2,3}=1 är egenvärden med egenrummet \displaystyle E_{\lambda=1}=\{\boldsymbol{x}:\ x_1+x_2+x_3=0\} .