Tips och lösning till U 13.11
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Hej 1
Tips 2
Hej 2
Tips 3
Hej 3
Lösning
Visa att \displaystyle \dim W=2 , där \displaystyle W=[\boldsymbol{v}_1=(1,2,0,0,0)^t,\boldsymbol{v}_2=(1,0,3,0,0)^t] .
Ortogonala komplementet \displaystyle W^\perp med \displaystyle \dim W^\perp=\dim{\bf E}^5-2=3 är mängden av alla vektorer \displaystyle \boldsymbol{w} ortogonala mot \displaystyle W .
Bestäm alltså alla vektorer \displaystyle \boldsymbol{w} sådana att \displaystyle (\boldsymbol{w}|\boldsymbol{v}_1)=0 och \displaystyle (\boldsymbol{v}|\boldsymbol{v}_2)=0 .
Om \displaystyle \boldsymbol{w}=(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)^t\in {\bf E}^5 , så är
\left\{\begin{array}{rcrcr}(\boldsymbol{w}|\boldsymbol{v}_1)&=&x_1+2x_2&=&0\\(\boldsymbol{w}|\boldsymbol{v}_2)&=&x_1+3x_3&=&0\end{array}\right.
Sätt \displaystyle x_1=6t . Då är \displaystyle x_2=-3t och \displaystyle x_3=-2t . Sätt vidare \displaystyle x_4=s och \displaystyle x_5=r . Då är
\boldsymbol{w}=r(0,0,0,0,1)^t+s(0,0,0,1,0)^t+t(6,-3,-2,0,0)^t.
Alltså är \displaystyle W^{\perp}=[(0,0,0,0,1)^t,(0,0,0,1,0)^t,(6,-3,-2,0,0)^t] . Dessa är ortogonala; kvar att normera.
En ON-bas för \displaystyle W^\perp är alltså \displaystyle (0,0,0,0,1)^t , \displaystyle (0,0,0,1,0)^t och \displaystyle \frac{1}{7}(6,-3,-2,0,0)^t] .
