Tips och lösning till U 13.3
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Hej 1
Tips 2
Hej 2
Tips 3
Hej 3
Lösning
Kalla punkterna \displaystyle P_0 , \displaystyle P_1 och \displaystyle P_2 .
Låt \displaystyle O vara origo i rummet och
bilda sidorna i triangeln
\boldsymbol{u}=\overrightarrow{P_1P_0}=\overrightarrow{OP_1}-\overrightarrow{OP_0}=(6,4,4,4,6)^t-(2,4,2,4,2)^t=(4,0,2,0,4)^t
\boldsymbol{v}=\overrightarrow{P_2P_0}=\overrightarrow{OP_2}-\overrightarrow{OP_0}= (5,7,5,7,2)^t-(2,4,2,4,2)^t=(3,3,3,3,3)^t
\boldsymbol{w}=\overrightarrow{P_2P_1}=\overrightarrow{OP_2}-\overrightarrow{OP_1}=(6,4,4,4,6)^t-(5,7,5,7,2)^t=(1,-3,-1,-3,4)^t.
Dessa vektorer har längden \displaystyle ||\boldsymbol{u}|| = ||\boldsymbol{v} = ||\boldsymbol{w}|| = 6 . Alltså är triangeln liksig med sidlängd 6 l.e. För en sådan triangel är vinklarna lika med \displaystyle \frac{\pi}{3} . T.ex., så är vinkeln \displaystyle \theta=\frac{\pi}{3} mellan \displaystyle \boldsymbol{u} och \displaystyle \boldsymbol{v} enligt
\cos\theta=\frac{ (\boldsymbol{u}| \boldsymbol{v}) }{
\boldsymbol{u}|| \cdot
||\boldsymbol{v}|| }=\frac{\sqrt3}{2}.
