SamverkanLinalgLIU

16.1

16.2

16.3

16.4

16.5

16.6

16.7

16.8

16.9

16.10

16.11

Läs textavsnitt 16.9 Linjära avbildningar och basbyte

Övningar

17.31. Den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R}^2\rightarrow{\bf R}^2 har i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\} matrisen

\displaystyle A_{\boldsymbol{e}}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{rr} 1& 1\\ -1& 1\end{array}\right).

Ange \displaystyle F:s matris \displaystyle A_{\boldsymbol{f}} i basen

\displaystyle \boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2,\qquad \boldsymbol{f}_2=-\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2.

Ange också sambandet mellan koordinaterna i de båda baserna.

17.32 Antag att \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} är en bas för \displaystyle {\bf R}^3 och låt den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3 definieras genom

\displaystyle F(\boldsymbol{e}_1)=\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_3,\qquad F(\boldsymbol{e}_2)=\boldsymbol{e}_1+3\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3,\qquad F(\boldsymbol{e}_3)=2\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3.

Bestäm matrisen för \displaystyle F med avseende på basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}, där

\displaystyle \boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_1,\qquad\boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2,\qquad\boldsymbol{f}_3=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3.

17.33. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} var en bas i rummet och \displaystyle F en linjär avbildning med matrisen

\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr} 1& 2& 1\\ 3& -1& 2\\ 1& 1& -1\end{array}\right).

i denna bas. Vad är matrisen för \displaystyle F i den bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} som ges av

\displaystyle

\boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_2-\boldsymbol{e}_3,\qquad \boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3,\qquad

\boldsymbol{f}_3=-\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2.

17.34. Avbildningen \displaystyle F har i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} matrisen

\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr} 2& 0& 1\\ 1& -1& 0\\ 2& 2& 1\end{array}\right).

Bestäm \displaystyle F:s matris i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} om

\displaystyle

\boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2,\qquad \boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3,\qquad

\boldsymbol{f}_3=\boldsymbol{e}_1.

Reflektionsuppgifter

1. Beskriv för en kamrat vad det är som påverkar utseendet på avbildningsmatrisen.

2. Beskriv vad matriserna \displaystyle A resp \displaystyle T reglerar. Påverkar de varandra? I så fall hur?

3. Hur beräknas kolonnerna i \displaystyle A resp \displaystyle T?