2.3 Bas

Övning 3.14

Visa att vektorn \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\-7\\1\end{pmatrix} ligger i samma plan som vektorerna \displaystyle \boldsymbol{v}_1=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{v}_2=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}. Bestäm koordinaterna för \displaystyle \boldsymbol{u} i basen \displaystyle \{\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2}\}.

Övning 3.15

Visa att

är en bas och bestäm koordinaterna för \displaystyle \boldsymbol{u}=4\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2 i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_{1},\boldsymbol{f}_{2}\}.

Övning 3.16

Visa att

är en bas och bestäm koordinaterna för \displaystyle \boldsymbol{u}=2\boldsymbol{e}_1+3\boldsymbol{e}_2-2\boldsymbol{e}_3 i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_{1},\boldsymbol{f}_{2},\boldsymbol{f}_3\}.

Övning 3.17

Visa att

är en bas för rummet. Vilka vektorer har samma koordinater i de båda baserna?

Övning 3.18

Låt \displaystyle \boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2 \displaystyle \boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2-\boldsymbol{e}_3 som i Övning 3.16. Ange alla vektorer som inte är en linjärkombination av \displaystyle \boldsymbol{f}_1 och \displaystyle \boldsymbol{f}_2. Hur ska \displaystyle \boldsymbol{f}_3 väljas så att \displaystyle \boldsymbol{f}_1, \displaystyle \boldsymbol{f}_2 och \displaystyle \boldsymbol{f}_3 blir en ny bas för rummet där vektorn \displaystyle \boldsymbol{u}=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3 har koordinaterna \displaystyle \boldsymbol{u}=2\boldsymbol{f}_13\boldsymbol{f}_2-2\boldsymbol{f}_3?