SamverkanLinalgLIU

Underlag för dugga 2

1A. Bestäm volymen av den parallellepiped som spänns upp av de tre vektorerna \displaystyle \begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix} , \displaystyle \begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix} och \displaystyle \begin{pmatrix}-2\\1\\3\end{pmatrix}

Svar: Volymen = 5 volymsenheter (Endast en ruta att fylla i)

1B. Bestäm volymen av den parallellepiped som spänns upp av de tre vektorerna \displaystyle \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} , \displaystyle \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix} och \displaystyle \begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}

Svar: Volymen = 3 volymsenheter (Endast en ruta att fylla i)

2A. Bestäm alla lösningar till matrisekvationen \displaystyle AX=B om \displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr} 1& 2& 1\\ 0& -1& 1\\ 0& 0& 2\end{array}\right) och \displaystyle B=\left(\begin{array}{rrr} -1& 2& 1\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right)..

Svar: \displaystyle X=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{rrr} -2& 1& 3\\ 0& 1& -1\\ 0& 1& 1\end{array}\right).

2B. Bestäm alla lösningar till matrisekvationen \displaystyle AX=B om \displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr} 1& 1& 0\\ 3& 0& 2\\ 3& 1& 1\end{array}\right) och \displaystyle B=\left(\begin{array}{rrr} 1& 2& 1\\ 2& 0& 0\\ 1& 1& 0\end{array}\right)..

Svar: \displaystyle X=\frac{1}{1}\left(\begin{array}{rrr} 2& 0& -2\\ 3& 4& 3\\ 4& 3& 3\end{array}\right).

3A. Bestäm de värden på a för vilka matrisen \displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr} 0& 1& 1\\ 0& 0& a\\ -1& -1& -1\end{array}\right) är inverterbar.

Svar a=0 (ge utrymme för tre olika a)

3B. Bestäm de värden på a för vilka matrisen \displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr} a& 1& 1\\ 0& 1& 2\\ -1& -1& -1\end{array}\right) är inverterbar.

Svar a=1 (ge utrymme för tre olika a)

4A. Bestäm för varje reellt tal a antalet lösningar till ekvationssystemet

\displaystyle \left\{\begin{array}{rclclcl}

x&+&2y&+&z&=&1&\\ &&-y&+&z&=&-1&\\

&&ay&+&2z&=&3&\end{array}\right.

Svar: Ingen lösning då a=-2 (ge tre möjligheter)

Oändligt många lösningar då a= (ge tre möjligheter)

En lösning då a är skilt från -2 (hur gör vi här?? Vi skriver resterande a??)

Studenten ska bar fylla i rätt a-värde. I det första fallet a=2 , i det andra skall det inte stå ngt a-värde och i det tredje har jag inte ngn färdig lösning. Texten skriver vi

4B. Bestäm för varje reellt tal a antalet lösningar till ekvationssystemet

\displaystyle \left\{\begin{array}{rclclcl}

x&+&2y&+&z&=&1&\\ &&-y&+&z&=&-1&\\

&&-2y&+&az&=&-2&\end{array}\right.

Svar: Ingen lösning då a= (ge tre möjligheter)

Oändligt många lösningar då a=2 (ge tre möjligheter)

En lösning då a är skilt från 2 (hur gör vi här?? Vi skriver resterande a??)

Studenten ska bar fylla i rätt a-värde. I det första fallet skall det inte stå ngt a-värde, i det andra a=2 och i det tredje har jag inte ngn färdig lösning. Texten skriver vi.

5A. För vilka a har ekvationssystemet

\displaystyle \left\{\begin{array}{rclclcl}

3x&+&y&+&z&=&ax&\\ &&y&+&2z&=&0&\\

x&+&y&+&z&=&0&\end{array}\right.

icke triviala lösningar? Lös ekvationssystemet för dessa a.

Svar: För a=2 har systemet lösningen \displaystyle t\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix} där t är ett godtyckligt reellt tal.

Obs även svaret \displaystyle t\begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix} går bra. För att underlätta programmeringen så skriver vi ut t i svaret (ett rätt svar behöver ju inte använda just bokstaven t för att ange ett godtyckligt reellt tal).

Ge möjlighet att fylla i 3 olika a-värden med tillhörande vektor. Studenten ska alltså bara fylla i rätt a-värde samt rätt vektor. Övrig text skriver vi.

5B. För vilka a har ekvationssystemet

\displaystyle \left\{\begin{array}{rclclcl}

x&+&y&+&z&=&ax&\\ &+&y&+&2z&=&0&\\

x&+&y&+&z&=&0&\end{array}\right.

icke triviala lösningar? Lös ekvationssystemet för dessa a.

Svar: För a=2 har systemet lösningen \displaystyle t\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix} där t är ett godtyckligt reellt tal.

Obs även svaret \displaystyle t\begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix} går bra. För att underlätta programmeringen så skriver vi ut t i svaret (ett rätt svar behöver ju inte använda just bokstaven t för att ange ett godtyckligt reellt tal).

Ge möjlighet att fylla i 3 olika a-värden med tillhörande vektor. Studenten ska alltså bara fylla i rätt a-värde samt rätt vektor. Övrig text skriver vi. '1

Låt \displaystyle \boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix} . Dela upp vektorn \displaystyle 1=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\4\\3\end{pmatrix} som en summa \displaystyle \boldsymbol{u}=$\backslash boldsymbol\{u\}\_\{\backslash parallel\backslash boldsymbol\{v\}\}$+\displaystyle \boldsymbol{u}_{\perp\boldsymbol{v}} .

Svaret skall ges i denna ordning.

Svar: \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}0\\2\\4\end{pmatrix}+\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}

Kommentarer: Svaret som studenten ska ge skall vara förberett så att han/hon bara behöver skriva in koordinaterna i fyrkanter på rätt plats. Vidare ger vi studenten en instruktion som säger att koordinaterna anges som heltal med ev rationella tal som bråk framför vektorn. Ge plats för detta! I detta exempel så skall svaret alltså ha en faktor 1/1 framför koordinaterna.

1B. Låt \displaystyle \boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}-1\\2\\-3\end{pmatrix} . Dela upp vektorn \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}-2\\3\\-2\end{pmatrix} som en summa \displaystyle \boldsymbol{u}=$\backslash boldsymbol\{u\}\_\{\backslash parallel\backslash boldsymbol\{v\}\}$+\displaystyle \boldsymbol{u}_{\perp\boldsymbol{v}} .

Svaret skall ges i denna ordning.

Svar: \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}-1\\2\\-3\end{pmatrix}+\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}

Kommentarer: Svaret som studenten ska ge skall vara förberett så att han/hon bara behöver skriva in koordinaterna i fyrkanter på rätt plats. Vidare ger vi studenten en instruktion som säger att koordinaterna anges som heltal med ev rationella tal som bråk framför vektorn. Ge plats för detta! I detta exempel så skall svaret alltså ha en faktor 1/1 framför koordinaterna. Rötter skrives som sqrt2 tex

2A. Bestäm alla vektorer som är ortogonala mot vektorerna \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix} och \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix} och har längden 1.

Svar: \displaystyle \pm\underline{\boldsymbol{e}}\frac{1}{\sqrt3}\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}

Kommentarer:Svaret som studenten ska ge skall vara förberett så att han/hon bara behöver skriva in koordinaterna i fyrkanter på rätt plats. Vidare ger vi studenten en instruktion som säger att koordinaterna anges som heltal med ev rationella tal som bråk framför vektorn. Ge plats för detta! Rötter skrives som sqrt2 tex. Vidare ger vi möjlighet för studenten att svara med 4 olika vektorer där i detta fall de rätta svaren skall skrivas in på de två första positionerna och de två följande skall lämnas tomma för rätt svar

2B. Bestäm alla vektorer som är ortogonala mot vektorerna \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}och \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\0\\3\end{pmatrix} och har längden 1.

Svar: \displaystyle \pm\underline{\boldsymbol{e}}\frac{1}{\sqrt{14}}\begin{pmatrix}-3\\1\\2\end{pmatrix}$$

''Kommentarer:Svaret som studenten ska ge skall vara förberett så att han/hon bara behöver skriva in koordinaterna i fyrkanter på rätt plats. Vidare ger vi studenten en instruktion som säger att koordinaterna anges som heltal med ev rationella tal som bråk framför vektorn. Ge plats för detta! Rötter skrives som sqrt2 tex. Vidare ger vi möjlighet för studenten att svara med 4 olika vektorer där i detta fall de rätta svaren skall skrivas in på de två första positionerna och de två följande skall lämnas tomma för rätt svar''

3A. För vilka t ligger punkterna $(t,1,-2),(t,0,-1),(3,-1,-2)och$\displaystyle (2,-1,-1) i samma plan?

Svar: t=1

Kommentarer: Ge utrymme för 4 olika svar. I detta fall skall bara den första rutan fyllas i av studenten och de två övriga lämnas tomma för rätt svar

3B. För vilka t ligger punkterna \displaystyle (t,-1,2),(t,0,1),(-2,1,1)och \displaystyle (1,0,-1) i samma plan?

Svar: t=-1

Kommentarer: Ge utrymme för 4 olika svar. I detta fall skall bara den första rutan fyllas i av studenten och de två övriga lämnas tomma för rätt svar

4A. För vilka a är vektorerna \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\-2\\a+2\end{pmatrix},\displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}a\\0\\1\end{pmatrix},\displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\a\\0\end{pmatrix} linjärt beroende?

Svar: a=1, a=-1, a=-2

Kommentarer: Ge utrymme för 4 olika svar. I detta fall skall bara de tre första rutorna fyllas i av studenten och den sista lämnas tom för rätt svar

4B. För vilka a är vektorerna \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}a+1\\-1\\0\end{pmatrix},\displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}-1\\a\\-1\end{pmatrix},\displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}-1\\0\\a\end{pmatrix} linjärt beroende?

Svar: a=1, a=-1

Kommentarer: Ge utrymme för 4 olika svar. I detta fall skall bara de två första rutorna fyllas i av studenten och detvå sista lämnas tomma för rätt svar

5A. Visa först att \displaystyle \left\{\begin{array}{rclclcl}

\boldsymbol{f}_1&=&&&\boldsymbol{e}_2&-&\boldsymbol{e}_3\\ \boldsymbol{f}_2&=&\boldsymbol{e}_1 &- &\boldsymbol{e}_2&+&\boldsymbol{e}_3\\

\boldsymbol{f}_3&=&-\boldsymbol{e}_1&+&\boldsymbol{e}_2&&&\end{array}\right.

är en bas i rummet. Bestäm sedan koordinaterna för \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix} i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2,\boldsymbol{f}_3\}.

Svar: \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{f}}\begin{pmatrix}4\\6\\4\end{pmatrix}

Kommentarer: Svaret som studenten ska ge skall vara förberett så att han/hon bara behöver skriva in koordinaterna i fyrkanter på rätt plats. Vidare ger vi studenten en instruktion som säger att koordinaterna anges som heltal med ev rationella tal som bråk framför vektorn. Ge plats för detta! I detta exempel så skall svaret alltså ha en faktor 1/1 framför koordinaterna.

5B. Visa först att \displaystyle \left\{\begin{array}{rclclcl}

\boldsymbol{f}_1&=&\boldsymbol{e}_1\\ \boldsymbol{f}_2&=&\boldsymbol{e}_1 &+ &\boldsymbol{e}_2\\

\boldsymbol{f}_3&=&\boldsymbol{e}_1&+&\boldsymbol{e}_2&+&\boldsymbol{e}_3&\end{array}\right.

är en bas i rummet. Bestäm sedan koordinaterna för \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix} i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2,\boldsymbol{f}_3\}.

Svar: \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{f}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}

Kommentarer: Svaret som studenten ska ge skall vara förberett så att han/hon bara behöver skriva in koordinaterna i fyrkanter på rätt plats. Vidare ger vi studenten en instruktion som säger att koordinaterna anges som heltal med ev rationella tal som bråk framför vektorn. Ge plats för detta! I detta exempel så skall svaret alltså ha en faktor 1/1 framför koordinaterna.