SamverkanLinalgLIU

Underlag för dugga 2

1A. Bestäm volymen av den parallellepiped som spänns upp av de tre vektorerna \displaystyle \begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix} , \displaystyle \begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix} och \displaystyle \begin{pmatrix}-2\\1\\3\end{pmatrix}

Svar: Volymen = 5 volymsenheter

Kommentar: Skriv ut texten enl svaret ovan med endast en ruta att fylla i för studenten

1B. Bestäm volymen av den parallellepiped som spänns upp av de tre vektorerna \displaystyle \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} , \displaystyle \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix} och \displaystyle \begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}

Svar: Volymen = 3 volymsenheter

Kommentar: Skriv ut texten enl svaret ovan med endast en ruta att fylla i för studenten

2A. Bestäm alla lösningar till matrisekvationen \displaystyle AX=B om \displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr} 1& 2& 1\\ 0& -1& 1\\ 0& 0& 2\end{array}\right) och \displaystyle B=\left(\begin{array}{rrr} -1& 2& 1\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right)..

Svar: \displaystyle X=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{rrr} -2& 1& 3\\ 0& 1& -1\\ 0& 1& 1\end{array}\right).

2B. Bestäm alla lösningar till matrisekvationen \displaystyle AX=B om \displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr} 1& 1& 0\\ 3& 0& 2\\ 3& 1& 1\end{array}\right) och \displaystyle B=\left(\begin{array}{rrr} 1& 2& 1\\ 2& 0& 0\\ 1& 1& 0\end{array}\right)..

Svar: \displaystyle X=\frac{1}{1}\left(\begin{array}{rrr} 2& -2& -2\\ 3& 4& 3\\ 4& 3& 3\end{array}\right).

3A. Bestäm de värden på a för vilka matrisen \displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr} 0& 1& 1\\ 0& 0& a\\ -1& -1& -1\end{array}\right) är inverterbar.

Svar a=0

Kommentar:Ge utrymme för tre olika a

3B. Bestäm de värden på a för vilka matrisen \displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr} a& 1& 1\\ 0& 1& 2\\ -1& -1& -1\end{array}\right) är inverterbar.

Svar a=1 (ge utrymme för tre olika a)

Kommentar:Ge utrymme för tre olika a

4A. Bestäm för varje reellt tal a antalet lösningar till ekvationssystemet

\displaystyle \left\{\begin{array}{rclclcl}

x&+&2y&+&z&=&1&\\ &&-y&+&z&=&-1&\\

&&ay&+&2z&=&3&\end{array}\right.

Svar: Ingen lösning då a=-2 (ge tre möjligheter)

Oändligt många lösningar då a= (ge tre möjligheter)

En lösning då a är skilt från -2 (ge tre möjligheter)

Studenten ska bar fylla i rätt a-värde. I det första fallet a=2 , i det andra skall det inte stå ngt a-värde och i det tredje -2. Texten skriver vi

4B. Bestäm för varje reellt tal a antalet lösningar till ekvationssystemet

\displaystyle \left\{\begin{array}{rclclcl}

x&+&2y&+&z&=&1&\\ &&-y&+&z&=&-1&\\

&&-2y&+&az&=&-2&\end{array}\right.

Svar: Ingen lösning då a= (ge tre möjligheter)

Oändligt många lösningar då a=2 (ge tre möjligheter)

En lösning då a är skilt från 2 (hur gör vi här?? Vi skriver resterande a??)

Studenten ska bar fylla i rätt a-värde. I det första fallet a=2 , i det andra skall det inte stå ngt a-värde och i det tredje -2. Texten skriver vi

5A. För vilka a har ekvationssystemet

\displaystyle \left\{\begin{array}{rclclcl}

3x&+&y&+&z&=&ax&\\ &&y&+&2z&=&0&\\

x&+&y&+&z&=&0&\end{array}\right.

icke triviala lösningar? Lös ekvationssystemet för dessa a.

Svar: För a=2 har systemet lösningen \displaystyle s\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}

Kommentar: Ge möjlighet att fylla i 3 olika a-värden med tillhörande vektor. Studenten ska alltså bara fylla i rätt a-värde samt rätt vektor. Övrig text skriver vi.

5B. För vilka a har ekvationssystemet

\displaystyle \left\{\begin{array}{rclclcl}

x&+&y&+&z&=&ax&\\ &+&y&+&2z&=&0&\\

x&+&y&+&z&=&0&\end{array}\right.

icke triviala lösningar? Lös ekvationssystemet för dessa a.

Svar: För a=1 har systemet lösningen \displaystyle s\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}

Kommentar: Ge möjlighet att fylla i 3 olika a-värden med tillhörande vektor. Studenten ska alltså bara fylla i rätt a-värde samt rätt vektor. Övrig text skriver vi.