SamverkanLinalgLIU

Läs textavsnitt 16.2 Matrisframställning Bild:Kap16 2.pdf

Övningar

1. Låt \displaystyle \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\} vara en bas i \displaystyle {\bf R}^2. Bestäm matrisen för den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R}^2\rightarrow:{\bf R}^2, sådan att

\displaystyle F(3\boldsymbol{e}_1+4\boldsymbol{e}_2)=5\boldsymbol{e}_1+6\boldsymbol{e}_2,\qquad F(2\boldsymbol{e}_1+3\boldsymbol{e}_2)=7\boldsymbol{e}_1+8\boldsymbol{e}_2

Du ska nu testa rimligheten i svaret. Avbildningsmatrisen skriver Du i Maple enligt

> A:=matrix(2,2,[-13,11,-14,12]);


Den första urbilden skriver Du som

> u1:=matrix(2,1,[3,4]);

Använd nu multiplikations kommandot för att bestämma första bilden

> v1=multiply(A,u1);

Räknar Maple rätt?

Kontrollera nu den andra urbilden!

2. Den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R^3}\rightarrow{\bf R}^3 har i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} matrisen

\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr}0&1&2\\5&-1&0\\4&0&-2\end{array}\right)

a) Bestäm bilden \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{r} 2\\-1 \\ 3\end{array}\right) under \displaystyle F. b) Ange urbilden till \displaystyle \boldsymbol{v}=2\boldsymbol{e}_1+5\boldsymbol{e}_2+2\boldsymbol{e}_3 under \displaystyle F.

3. Bestäm matrisen till den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R^3}\rightarrow{\bf R}^3 som i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} definieras genom

\displaystyle F(\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2)=2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2,\qquad F(\boldsymbol{e}_2)=-\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3,\qquad F(\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3)=2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+5\boldsymbol{e}_3.

4. Bestäm matrisen till den linjära avbildningen \displaystyle {\color{Blue}F}:{\bf R^3}\rightarrow{\bf R}^3 som i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} ges av

\displaystyle F(x_1,x_2,x_3)=(5x_1+2x_2+4x_3,2x_1+x_2+x_3,4x_1+x_2+6x_3)

1. Visa att \displaystyle F är linjär.
2. Bestäm \displaystyle F^{-1}:s matris i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}

5. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} vara en bas för \displaystyle V., där dim \displaystyle V=2. Ange matrisen för den linjära avbildning, \displaystyle F, som byter plats på \displaystyle \boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2 och \displaystyle 2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2. Bestäm sedan vektorer \displaystyle \boldsymbol{f}_1, \displaystyle \boldsymbol{f}_2 sådan att \displaystyle F(\boldsymbol{f}_1)=\boldsymbol{f}_1 och \displaystyle F(\boldsymbol{f}_2)=-\boldsymbol{f}_2. Välj \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{f}_2\} som bas. Ange \displaystyle F:s matris i denna bas.

6. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} vara en ON-bas i rummet och låt

\displaystyle F(\boldsymbol{u})=\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{a},

där \displaystyle \boldsymbol{a}=\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2+2\boldsymbol{e}_3.

1. Bestäm \displaystyle F:s matris i denna bas.
2. Vektorerna

\displaystyle \boldsymbol{f}_1=\frac{1}{3}\boldsymbol{a},\qquad\boldsymbol{f}_2=\frac{1}{3}(2\boldsymbol{e}_1-2\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3),\qquad \boldsymbol{f}_3=\frac{1}{3}(2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2-2\boldsymbol{e}_3). utgör en ny bas. Bestäm \displaystyle F:s matris i den nya basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=$\backslash \{\backslash boldsymbol\{f\}\_1,\; \backslash boldsymbol\{f\}\_2,\backslash boldsymbol\{f\}\_3\backslash \}$

Reflektionsuppgifter

1. Finns det linjära avbildningar som inte kan skrivas med hjälp av matriser? Motivera ditt svar med lämplig teori.

2. Beskriv hur avbildningsmatrisen för en linjär avbildning är uppbyggd, både vad gäller storlek och innehåll.

3. Är det rimligt att tänk sig att alla avbildningsmatriser för linjära avbildningar är inverterbara?