Tips och lösning till övning 3

SamverkanLinalgLIU

Hoppa till: navigering, sök

Tips 1

Vi använder idéerna från exempel 16.13. Grundidéen är att vi tar fram bilderna av basvektorerna. Dessa bildar kolonner i avbildningsmatrisen.

Tips 2

I detta fall kan vi helt följa exempel 16.13. Vi erhåller ett ekvationssystem med tre ekvationer och tre obekanta (de sökta bilderna av basvektorerna). Med hjälp av basvektorernas bilder kan vi med stöd av Sats 16.11 skriva upp den sökta avbildningsmatrisen.

Tips 3



Lösning

För att lösa ut de obekanta \displaystyle F(\boldsymbol{e}_1), \displaystyle F(\boldsymbol{e}_2), och \displaystyle F(\boldsymbol{e}_3)$ ur ekvationssytemet utnyttjar vi att \displaystyle F är linjär. Vänstra ledet i systemet kan då skrivas

\displaystyle \left\{\begin{array}{lcl}F(\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2)&=&F(\boldsymbol{e}_1)+F(\boldsymbol{e}_2)\\F(\boldsymbol{e}_2)&=&F(\boldsymbol{e}_2)\\F(\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3)&=&F(\boldsymbol{e}_2)+F(\boldsymbol{e}_3)\end{array}\right.

Ekvationssytemet kan nu skrivas

\displaystyle \left\{\begin{array}{rcrcrcrcrcr}F(\boldsymbol{e}_1)&+&F(\boldsymbol{e}_2)&&&=&2\boldsymbol{e}_1&+&\boldsymbol{e}_2&&\\ 
                                                   & &F(\boldsymbol{e}_2) &&&=&-\boldsymbol{e}_1&+&2\boldsymbol{e}_2&+&\boldsymbol{e}_3\\
&&F(\boldsymbol{e}_2)&+&F(\boldsymbol{e}_3)&=&2\boldsymbol{e}_1&+&\boldsymbol{e}_2&+&5\boldsymbol{e}_3\end{array}\right.

Utför vi radopertioner, rad 2 minus rad 1 rsp. rad 2 minus rad 3 får vi att

\displaystyle \left\{\begin{array}{rcrcrcrcrcr}F(\boldsymbol{e}_1)&&&&&=&3\boldsymbol{e}_1&-&\boldsymbol{e}_2&-&\boldsymbol{e}_3\\ 
                                                   & &F(\boldsymbol{e}_3)&&&=&-\boldsymbol{e}_1&+&2\boldsymbol{e}_2&+&\boldsymbol{e}_3\\
&&&&F(\boldsymbol{e}_3)&=&3\boldsymbol{e}_1&-&\boldsymbol{e}_2&+&4\boldsymbol{e}_3\end{array}\right.

Avbildningsmatrisen är därmed

\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&{-1}&3\\{-1}&2&{-1}\\{-1}&1&4\end{pmatrix}.


Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_%C3%B6vning_3