Processing Math: 57%

SamverkanLinalgLIU

16.1 Definition av linjär avbildning

16.2 Matrisframställning

16.3 Projektion och spegling

16.4 Plan rotation

16.5 Rotation i rummet

16.6 Sammansatta linjära avbildningar

16.7 Nollrum, Värderum och dimensionssatsen

16.8 Basbyte

16.9 Linjära avbildningar och basbyte

16.10 Projektioner och speglingar med basbyte

16.11 Rotationer

Linjära avbildningar och basbyte

Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning Bild:Kap16 9.pdf

Övningar

1. Den linjära avbildningen F:R2R2 har i basen =12 har matrisen

A=211−111 

Ange F:s matris A i basen

1=1+22=−1+2

Ange också sambandet mellan koordinaterna i de båda baserna.

2. Låt =123 var en bas i rummet och F en linjär avbildning med matrisen

A=2120−12101

i denna bas. Vad är matrisen för F i den bas som ges av

1=2−32=1−2+33=−1+2

3. Avbildningen F har i basen matrisen

A=2120−12101

Bestäm F:s matris i basen om

1=1+22=2+33=1

4. Antag att =123 är en bas i R3 och låt den linjära avbildningen F:R3R3 definieras genom

F(1)=1+23F(2)=1+32+3F(3)=22+3

Bestäm matrisen till F med avseende på basen =123, där

1=12=1+23=1+2+3

5. Visa att matriserna

A=011−102013ochB=11−1020103

ej kan representera samma linjära avbildning F:R3R3.

Projektioner och speglingar med basbyte

Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning Bild:Kap16 10.pdf

Övningar

1. Låt =12 vara en ON-bas i planet. Inför en ny bas =12 genom

12==15(1+22)15(21−2)

Låt F vara ortogonal projektion på linjen x1+2x2=0. Ange \displaystyle F:s matris i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} och beräkna med hjälp av bassambandet \displaystyle F:s matris i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}.

2. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\} vara en ON-bas i planet. Inför en ny bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2\} genom

\displaystyle

\left\{\begin{array}{lcl}\boldsymbol{f}_1&=&\frac{1}{\sqrt5}(\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2)\\ \boldsymbol{f}_2&=&\frac{1}{\sqrt5}(2\boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2)\end{array}\right.

Låt \displaystyle F vara spegling i linjen \displaystyle x_1+2x_2=0. Ange \displaystyle F:s matris i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} och beräkna med hjälp av bassambandet \displaystyle F:s matris i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}.

3. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} vara en ON-bas i rummet och låt \displaystyle F vara en ortogonal projektion på planet \displaystyle x_1+x_2+x_3=0. Välj en lämplig ny bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} och ange \displaystyle F:s matris i denna. Beräkna med hjälp av bassambanden matrisen i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}.

Rotationer

Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning Bild:Kap16 11.pdf

Övningar

1. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} vara en höger ON-bas i rummet och \displaystyle F rotation \displaystyle 2\pi/3 i positiv led runt \displaystyle \boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3. Beräkna avbildningens matris i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}.