16.2 Matrisframställning

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Rad 46: Rad 46:
-
 
+
4. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> vara en bas för <math>V</math>., där dim <math>V=2</math>.
-
 
+
-
4. Bestäm matrisen till den linjära avbildningen <math>{\color{Blue}F}:{\bf R^3}\rightarrow{\bf R}^3</math> som i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> ges av
+
-
<center><math>
+
-
F(x_1,x_2,x_3)=(5x_1+2x_2+4x_3,2x_1+x_2+x_3,4x_1+x_2+6x_3)</math></center>
+
-
# Visa att <math>F</math> är linjär.
+
-
# Bestäm <math>F^{-1}</math>:s matris i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math>
+
-
 
+
-
{{#NAVCONTENT:
+
-
Svar|Svar till övning 4|
+
-
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 4}}
+
-
5. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> vara en bas för <math>V</math>., där dim <math>V=2</math>.
+
Ange matrisen för den linjära avbildning, <math>F</math>, som byter plats på <math>\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2</math> och <math>2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2</math>.
Ange matrisen för den linjära avbildning, <math>F</math>, som byter plats på <math>\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2</math> och <math>2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2</math>.
Bestäm sedan vektorer <math>\boldsymbol{f}_1</math>, <math>\boldsymbol{f}_2</math> sådan att <math>F(\boldsymbol{f}_1)=\boldsymbol{f}_1</math> och <math>F(\boldsymbol{f}_2)=-\boldsymbol{f}_2</math>.
Bestäm sedan vektorer <math>\boldsymbol{f}_1</math>, <math>\boldsymbol{f}_2</math> sådan att <math>F(\boldsymbol{f}_1)=\boldsymbol{f}_1</math> och <math>F(\boldsymbol{f}_2)=-\boldsymbol{f}_2</math>.
Välj <math>\underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{f}_2\}</math> som bas. Ange <math>F</math>:s matris i denna bas.
Välj <math>\underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{f}_2\}</math> som bas. Ange <math>F</math>:s matris i denna bas.
{{#NAVCONTENT:
{{#NAVCONTENT:
-
Svar|Svar till övning 5|
+
Svar|Svar till övning 4|
-
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 5}}
+
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 4}}
-
6. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> vara en ON-bas i rummet och låt
+
 
 +
 
 +
5. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> vara en ON-bas i rummet och låt
<center><math>F(\boldsymbol{u})=\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{a},</math></center>
<center><math>F(\boldsymbol{u})=\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{a},</math></center>
där <math>\boldsymbol{a}=\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2+2\boldsymbol{e}_3</math>.
där <math>\boldsymbol{a}=\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2+2\boldsymbol{e}_3</math>.
Rad 71: Rad 62:
<center><math>\boldsymbol{f}_1=\frac{1}{3}\boldsymbol{a},\qquad\boldsymbol{f}_2=\frac{1}{3}(2\boldsymbol{e}_1-2\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3),\qquad \boldsymbol{f}_3=\frac{1}{3}(2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2-2\boldsymbol{e}_3).</math></center> utgör en ny bas. Bestäm <math>F</math>:s matris i den nya basen <math>\underline{\boldsymbol{f}}=<math>\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2,\boldsymbol{f}_3\}</math>
<center><math>\boldsymbol{f}_1=\frac{1}{3}\boldsymbol{a},\qquad\boldsymbol{f}_2=\frac{1}{3}(2\boldsymbol{e}_1-2\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3),\qquad \boldsymbol{f}_3=\frac{1}{3}(2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2-2\boldsymbol{e}_3).</math></center> utgör en ny bas. Bestäm <math>F</math>:s matris i den nya basen <math>\underline{\boldsymbol{f}}=<math>\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2,\boldsymbol{f}_3\}</math>
{{#NAVCONTENT:
{{#NAVCONTENT:
-
Svar|Svar till övning 6|
+
Svar|Svar till övning 5|
-
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 6}}
+
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 5}}

Versionen från 15 oktober 2008 kl. 18.20

Läs textavsnitt 16.2 Matrisframställning Bild:Kap16 2.pdf

Övningar


1. Låt \displaystyle \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\} vara en bas i \displaystyle {\bf R}^2. Bestäm matrisen för den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R}^2\rightarrow:{\bf R}^2, sådan att

\displaystyle F(3\boldsymbol{e}_1+4\boldsymbol{e}_2)=5\boldsymbol{e}_1+6\boldsymbol{e}_2,\qquad F(2\boldsymbol{e}_1+3\boldsymbol{e}_2)=7\boldsymbol{e}_1+8\boldsymbol{e}_2
Svar
Svar till övning 1
Tips och lösning
Tips och lösning till övning 1

Du ska nu testa rimligheten i svaret. Avbildningsmatrisen skriver Du i Maple enligt 

> A:=matrix(2,2,[-13,11,-14,12]);


Den första urbilden skriver Du som

> u1:=matrix(2,1,[3,4]);

Använd nu multiplikations kommandot för att bestämma första bilden

> v1=multiply(A,u1);

Räknar Maple rätt?

Kontrollera nu den andra urbilden!

2. Den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R^3}\rightarrow{\bf R}^3 har i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} matrisen

\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr}0&1&2\\5&-1&0\\4&0&-2\end{array}\right)

a) Bestäm bilden \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{r} 2\\-1 \\ 3\end{array}\right) under \displaystyle F. b) Ange urbilden till \displaystyle \boldsymbol{v}=2\boldsymbol{e}_1+5\boldsymbol{e}_2+2\boldsymbol{e}_3 under \displaystyle F.


Svar
Svar till övning 2
Tips och lösning
Tips och lösning till övning 2


3. Bestäm matrisen till den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R^3}\rightarrow{\bf R}^3 som i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} definieras genom

\displaystyle F(\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2)=2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2,\qquad F(\boldsymbol{e}_2)=-\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3,\qquad F(\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3)=2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+5\boldsymbol{e}_3.


Svar
Svar till övning 3
Tips och lösning
Tips och lösning till övning 3


4. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} vara en bas för \displaystyle V., där dim \displaystyle V=2. Ange matrisen för den linjära avbildning, \displaystyle F, som byter plats på \displaystyle \boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2 och \displaystyle 2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2. Bestäm sedan vektorer \displaystyle \boldsymbol{f}_1, \displaystyle \boldsymbol{f}_2 sådan att \displaystyle F(\boldsymbol{f}_1)=\boldsymbol{f}_1 och \displaystyle F(\boldsymbol{f}_2)=-\boldsymbol{f}_2. Välj \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{f}_2\} som bas. Ange \displaystyle F:s matris i denna bas.


Svar
Svar till övning 4
Tips och lösning
Tips och lösning till övning 4


5. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} vara en ON-bas i rummet och låt

\displaystyle F(\boldsymbol{u})=\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{a},

där \displaystyle \boldsymbol{a}=\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2+2\boldsymbol{e}_3.

  1. Bestäm \displaystyle F:s matris i denna bas.
  2. Vektorerna
\displaystyle \boldsymbol{f}_1=\frac{1}{3}\boldsymbol{a},\qquad\boldsymbol{f}_2=\frac{1}{3}(2\boldsymbol{e}_1-2\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3),\qquad \boldsymbol{f}_3=\frac{1}{3}(2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2-2\boldsymbol{e}_3).
utgör en ny bas. Bestäm \displaystyle F:s matris i den nya basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2,\boldsymbol{f}_3\}


Svar
Svar till övning 5
Tips och lösning
Tips och lösning till övning 5


Reflektionsuppgifter

1. Finns det linjära avbildningar som inte kan skrivas med hjälp av matriser? Motivera ditt svar med lämplig teori.

2. Beskriv hur avbildningsmatrisen för en linjär avbildning är uppbyggd, både vad gäller storlek och innehåll.

3. Är det rimligt att tänk sig att alla avbildningsmatriser för linjära avbildningar är inverterbara?

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/16.2_Matrisframst%C3%A4llning