14. Minsta kvadratmetoden
SamverkanLinalgLIU
| Rad 9: | Rad 9: | ||
Rita figur! | Rita figur! | ||
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 15.1|Tips och lösning|Tips och lösning till U 15.1}} | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 15.1|Tips och lösning|Tips och lösning till U 15.1}} | ||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | ===Övning 15.2=== | ||
| + | a) Ange den linje, <math> y=kx+m </math>, som i minsta kvadratmening ansluter sig bäst till | ||
| + | |||
| + | <center><math> | ||
| + | \begin{matrix} | ||
| + | \begin{matrix} | ||
| + | x &\vert& \phantom{-}2& \vert& 3& \vert& \phantom{-}4 &\vert& 5\\ | ||
| + | \end{matrix}\\[-3pt] | ||
| + | \rule 150pt 0.4pt 0pt\\ | ||
| + | \begin{matrix} | ||
| + | y &\vert& -2& \vert& 0 & \vert & -1 & \vert & 1 | ||
| + | \end{matrix} | ||
| + | \end{matrix} | ||
| + | </math></center> | ||
| + | b) Beräkna också <math> \sum_{j=1}^4(kx_j+m-y_j)^2 </math>. | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 15.2|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 15.2a | ||
| + | |Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 15.2b}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | ===Övning 15.3=== | ||
| + | Ange den andragradskurva <math> y=ax^2+bx+c </math>, som i minsta kvadratmening bäst ansluter till följande mätdata | ||
| + | <center><math> | ||
| + | \begin{matrix} | ||
| + | \begin{matrix} | ||
| + | x &\vert& -1& \vert& 0& \vert& 1 &\vert& 2\\ | ||
| + | \end{matrix}\\[-3pt] | ||
| + | \rule 150pt 0.4pt 0pt\\ | ||
| + | \begin{matrix} | ||
| + | y &\vert& \phantom{-}2& \vert& 2 & \vert & 1 & \vert & 0 | ||
| + | \end{matrix} | ||
| + | \end{matrix} | ||
| + | </math></center> | ||
| + | |||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 15.3|Tips och lösning|Tips och lösning till U 15.3}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | ===Övning 15.4=== | ||
| + | Jämför med Exempel 12.29. | ||
| + | Låt <math> \boldsymbol{u}=(1,0,0)^t </math> och | ||
| + | <center><math> | ||
| + | W=[(1,2,2)^t,(3,0,3)^t]\subset{\bf E}^3. | ||
| + | </math></center> | ||
| + | a) Bestäm med minsta kvadratmetoden (MK-metoden) den ortogonala | ||
| + | projektionen <math> \boldsymbol{u}_{\parallel W} </math>. | ||
| + | |||
| + | b) Bestäm avståndet mellan punkten <math> (1,0,0) </math> och planet <math> W </math>. | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 15.4|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 15.4a | ||
| + | |Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 15.4b}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | ===Övning 15.5=== | ||
| + | Bestäm med MK-metoden den vektor i | ||
| + | <center><math> | ||
| + | W=[(1,-1,1,-1)^t,(2,0,2,0)^t]\subset{\bf E}^4. | ||
| + | </math></center> | ||
| + | som ligger närmast <math> \boldsymbol{u}=(1,2,3,4)^t </math>. | ||
| + | (Jfr med Exempel 12.30.) | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 15.5|Tips och lösning|Tips och lösning till U 15.5}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | ===Övning 15.6=== | ||
| + | Låt | ||
| + | <center><math> | ||
| + | W=[(1,0,2,2)^t,(1,0,0,1)^t,(1,0,-1,5)^t]\subset{\bf E}^4 | ||
| + | </math></center> | ||
| + | och <math> \boldsymbol{u}=(2,3,6,2)^t </math>. (Jfr med Exempel 12.33.) | ||
| + | |||
| + | a) Bestäm med MK-metoden den ortogonala projektionen | ||
| + | <math> \boldsymbol{u}_{\parallel W} </math>. | ||
| + | |||
| + | b) Bestäm avståndet mellan punkten <math> (2,3,6,2) </math> och hyperplanet <math> W </math>. | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 15.6|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 15.6a | ||
| + | |Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 15.6b}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | ===Övning 15.7=== | ||
| + | Jämför med Exempel 12.34. Betrakta underrummet | ||
| + | <center><math> | ||
| + | W=\{\boldsymbol{x}\in{\bf E}^3:\ 2x_1-x_2-2x_3=0\}. | ||
| + | </math></center> | ||
| + | Låt <math> \boldsymbol{u}=(x_1,x_2,x_3)^t\in{\bf E}^3 </math> vara godtycklig. | ||
| + | |||
| + | a) Bestäm m.h.a. MK-metoden den ortogonala projektionen <math> P_{W^\perp}(\boldsymbol{u}) </math>. | ||
| + | |||
| + | b) Enligt Exempel 12.34 så är <math> W=[(2,2,1)^t,(1,-2,2)]^t </math>. | ||
| + | Bestäm m.h.a. MK-metoden den ortogonala projektionen | ||
| + | <math> P_{W}(\boldsymbol{u}) </math>. | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 15.7|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 15.7a | ||
| + | |Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 15.7b}} | ||
Versionen från 16 november 2010 kl. 16.24
Läs textavsnitt 14 Minsta kvadratmetoden.
Du har nu läst om minsta kvadratmetoden och här kommer några övningar som testar om du har tagit till dig stoffet.
Innehåll |
Övning 15.1
Ange den linje \displaystyle y=kx+m som i minsta kvadratmening bäst ansluter till punkterna \displaystyle (-1,-3) , \displaystyle (1,-2) och \displaystyle (3,5) . Rita figur!
Hämtar...Övning 15.2
a) Ange den linje, \displaystyle y=kx+m , som i minsta kvadratmening ansluter sig bäst till
\begin{matrix} \begin{matrix}
x &\vert& \phantom{-}2& \vert& 3& \vert& \phantom{-}4 &\vert& 5\\
\end{matrix}\\[-3pt] \rule 150pt 0.4pt 0pt\\ \begin{matrix}
y &\vert& -2& \vert& 0 & \vert & -1 & \vert & 1
\end{matrix} \end{matrix}
b) Beräkna också \displaystyle \sum_{j=1}^4(kx_j+m-y_j)^2 .
Övning 15.3
Ange den andragradskurva \displaystyle y=ax^2+bx+c , som i minsta kvadratmening bäst ansluter till följande mätdata
\begin{matrix} \begin{matrix}
x &\vert& -1& \vert& 0& \vert& 1 &\vert& 2\\
\end{matrix}\\[-3pt] \rule 150pt 0.4pt 0pt\\ \begin{matrix}
y &\vert& \phantom{-}2& \vert& 2 & \vert & 1 & \vert & 0
\end{matrix} \end{matrix}
Övning 15.4
Jämför med Exempel 12.29. Låt \displaystyle \boldsymbol{u}=(1,0,0)^t och
W=[(1,2,2)^t,(3,0,3)^t]\subset{\bf E}^3.
a) Bestäm med minsta kvadratmetoden (MK-metoden) den ortogonala projektionen \displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel W} .
b) Bestäm avståndet mellan punkten \displaystyle (1,0,0) och planet \displaystyle W .
Övning 15.5
Bestäm med MK-metoden den vektor i
W=[(1,-1,1,-1)^t,(2,0,2,0)^t]\subset{\bf E}^4.
som ligger närmast \displaystyle \boldsymbol{u}=(1,2,3,4)^t . (Jfr med Exempel 12.30.)
Övning 15.6
Låt
W=[(1,0,2,2)^t,(1,0,0,1)^t,(1,0,-1,5)^t]\subset{\bf E}^4
och \displaystyle \boldsymbol{u}=(2,3,6,2)^t . (Jfr med Exempel 12.33.)
a) Bestäm med MK-metoden den ortogonala projektionen \displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel W} .
b) Bestäm avståndet mellan punkten \displaystyle (2,3,6,2) och hyperplanet \displaystyle W .
Övning 15.7
Jämför med Exempel 12.34. Betrakta underrummet
W=\{\boldsymbol{x}\in{\bf E}^3:\ 2x_1-x_2-2x_3=0\}.
Låt \displaystyle \boldsymbol{u}=(x_1,x_2,x_3)^t\in{\bf E}^3 vara godtycklig.
a) Bestäm m.h.a. MK-metoden den ortogonala projektionen \displaystyle P_{W^\perp}(\boldsymbol{u}) .
b) Enligt Exempel 12.34 så är \displaystyle W=[(2,2,1)^t,(1,-2,2)]^t . Bestäm m.h.a. MK-metoden den ortogonala projektionen \displaystyle P_{W}(\boldsymbol{u}) .
