Tips och lösning till U 15.5
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Vi har nu vänt lite på frågeställningen jämfört med föregående uppgift! Vilken vektor är det vi söker?
Tips 2
Svaret har du i föregående uppgift: Vi söker alltså \displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel W}
Tips 3
Beräkningarna för att finna \displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel W} följer samma struktur som i föregående uppgift 15.4
Lösning
Vi har att \displaystyle W=[\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2] där \displaystyle \boldsymbol{v}_1 och \displaystyle \boldsymbol{v}_2 är linjärt oberoende vilket ger att \displaystyle \dim W=2 ,
Vi söker \displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel W}\in W , dvs vi söker \displaystyle \lambda_1 och
\displaystyle \lambda_2 så att
\boldsymbol{u}_{\parallel W} = \lambda_1 \boldsymbol{v}_1 + \lambda_2 \boldsymbol{v}_2,
ligger närmast \displaystyle \boldsymbol{u} . Eftersom vektorn \displaystyle \boldsymbol{u} kan delas upp i
\boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_{\parallel W}+\boldsymbol{u}_{\parallel W^{\perp}},
så vill vi att felet
||\boldsymbol{u}_{\parallel W^{\perp}}||=||\boldsymbol{u}-\boldsymbol{u}_{\parallel W}||
ska bli så litet som möjligt.
Vi sätter upp relationen
\boldsymbol{u} = \lambda_1\boldsymbol{v}_1 + \lambda_2 \boldsymbol{v}_2
\lambda_1\left(\begin{array}{r}1\\-1\\1\\-1\end{array}\right) +\lambda_2 \left(\begin{array}{r} 2\\0\\2\\0\end{array}\right) =\left(\begin{array}{r}1\\2\\3\\4\end{array}\right) \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rr}1&2\\-1&0\\1&2\\-1&0\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}\lambda_1 \\ \lambda_2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}1\\2\\3\\4\end{array}\right)
Detta system saknar lösning! MK-metoden där vi läser normalekvationen ger
\left(\begin{array}{rrrr}1&-1&1&-1\\2&0&2&0\end{array}\right) \left(\begin{array}{rr}1&2\\-1&0\\1&2\\-1&0\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}\lambda_1 \\ \lambda_2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrrr}1&-1&1&-1\\2&0&2&0\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}1\\2\\3\\4\end{array}\right)
\Leftrightarrow \left(\begin{array}{rr|r}4&4&-2\\4&8&8\end{array}\right) \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcr}\lambda_1&=&-3\\\lambda_2&=&5/2\end{array}\right.
Alltså har vi att
=-3 \left(\begin{array}{r}1\\-1\\1\\-1\end{array}\right) + \frac{5}{2} \left(\begin{array}{r} 2\\0\\2\\0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} 2\\3\\2\\3\end{array}\right)
Den vektor i \displaystyle W som ligger närmast \displaystyle \boldsymbol{u} är alltså
\boldsymbol{u}_{\parallel W}= \left(\begin{array}{r} 2\\3\\2\\3\end{array}\right)
