6.5 Symmetriska och ortogonala matriser
SamverkanLinalgLIU
| Rad 16: | Rad 16: | ||
| - | ===Övning 7.1=== | + | |
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | ===Övning 7.15=== | ||
| + | Visa att om <math>A</math> är en kvadratisk matris så är följande matriser också symmetriska. | ||
| + | {| width="100%" cellspacing="10px" | ||
| + | |a) | ||
| + | |width="50%"| <math>A+A^t</math> | ||
| + | |b) | ||
| + | |width="50%"| <math>AA^t</math> | ||
| + | |} | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 7.15|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 7.15a|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 7.15b}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | ===Övning 7.16=== | ||
| + | Visa att om <math>A</math> är en symmetrisk matris så är <math>B^tAB</math> symmetrisk för varje matris <math>B</math> för vilken produkterna gäller. | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 7.16|Tips och lösning|Tips och lösning till U 7.16}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | ===Övning 7.17=== | ||
| + | En kvadratisk matris <math>A</math> kallas '''Skevsymmetrisk''' om <math>A^t=-A</math>. | ||
| + | |||
| + | a) Visa att diagonalelementen i en skevsymmetrisk matris är alla 0. | ||
| + | |||
| + | b) Visa att om <math>A</math> och <math>B</math> är båda <math>n\times n</math> skevsymmetriska matriser så är även <math>A+B</math> en skevsymmetrisk matris. | ||
| + | |||
| + | c) Visa att om <math>A</math> är kvadratisk så är <math>A-A^t</math> skevsymmetrisk. | ||
| + | |||
| + | d) Visa att varje kvadratisk matris kan delas upp i en summa av en symmtrisk och en skevsymmetrisk matris. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 7.17|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 7.17a|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 7.17b|Tips och lösning till c)|Tips och lösning till U 7.17c|Tips och lösning till d)|Tips och lösning till U 7.17d}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | ===Övning 7.18=== | ||
| + | '''Spåret''' till en kvadratisk matris <math>A=(a_{ij})_{n\times n}</math> | ||
| + | definieras som summan av alla diagonalelementen och betecknas | ||
| + | <math>\mbox{sp}(A)</math>, dvs | ||
| + | <center><math> \mbox{sp}(A)=a_{11}+a_{22}+a_{33}+\cdots+a_{nn}.</math></center> | ||
| + | Antag att <math>A</math> och <math>B</math> är båda <math>n\times n</math> matriser. Visa att | ||
| + | |||
| + | a) <math>\mbox{sp}(A+B)=\mbox{sp}(A)+\mbox{sp}(B)</math>. | ||
| + | |||
| + | b) <math>\mbox{sp}(\lambda A)=\lambda\mbox{sp}(A)</math>, där | ||
| + | <math>\lambda\in{\bf R}</math>. | ||
| + | |||
| + | c) <math>A</math> och <math>B</math> inte kan uppfylla | ||
| + | <center><math> AB-BA=E. </math> </center> | ||
| + | |||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 7.18|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 7.18a|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 7.18b|Tips och lösning till c)|Tips och lösning till U 7.18c}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | ===Övning 7.19=== | ||
| + | Bestäm talen <math>a</math>, <math>b</math> och <math>c</math> så att | ||
| + | matrisen | ||
| + | <center><math> | ||
| + | \frac{1}{3}\begin{pmatrix}a&2&2\\2&b&1\\2&1&c\end{pmatrix} | ||
| + | </math> </center> | ||
| + | blir ortogonal. | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 7.19|Tips och lösning|Tips och lösning till U 7.19}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | ===Övning 7.20=== | ||
| + | Ge exempel på två matriser <math>A</math> och <math>B</math> | ||
| + | som är både symmetriska och ortogonala, där | ||
| + | <math>A</math> är av typen <math>2\times2</math> och <math>B</math> är av typen | ||
| + | <math>3\times3</math> (<math>A</math> och <math>B</math> ej enhetsmatriser). | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 7.20|Tips och lösning|Tips och lösning till U 7.20}} | ||
Nuvarande version
| 6.1 | 6.2 | 6.3 | 6.4 | 6.5 | 6.6 |
Läs textavsnitt 6.5 Symmetriska och ortogonala matriser.
Du har nu läst definitionen på symmetriska och ortogonala matriser och här kommer några övningar som testar om du har tagit till dig stoffet.
Innehåll |
Övning 7.15
Visa att om \displaystyle A är en kvadratisk matris så är följande matriser också symmetriska.
| a) | \displaystyle A+A^t | b) | \displaystyle AA^t |
Hämtar...
Övning 7.16
Visa att om \displaystyle A är en symmetrisk matris så är \displaystyle B^tAB symmetrisk för varje matris \displaystyle B för vilken produkterna gäller.
Övning 7.17
En kvadratisk matris \displaystyle A kallas Skevsymmetrisk om \displaystyle A^t=-A.
a) Visa att diagonalelementen i en skevsymmetrisk matris är alla 0.
b) Visa att om \displaystyle A och \displaystyle B är båda \displaystyle n\times n skevsymmetriska matriser så är även \displaystyle A+B en skevsymmetrisk matris.
c) Visa att om \displaystyle A är kvadratisk så är \displaystyle A-A^t skevsymmetrisk.
d) Visa att varje kvadratisk matris kan delas upp i en summa av en symmtrisk och en skevsymmetrisk matris.
Övning 7.18
Spåret till en kvadratisk matris \displaystyle A=(a_{ij})_{n\times n} definieras som summan av alla diagonalelementen och betecknas \displaystyle \mbox{sp}(A), dvs
Antag att \displaystyle A och \displaystyle B är båda \displaystyle n\times n matriser. Visa att
a) \displaystyle \mbox{sp}(A+B)=\mbox{sp}(A)+\mbox{sp}(B).
b) \displaystyle \mbox{sp}(\lambda A)=\lambda\mbox{sp}(A), där \displaystyle \lambda\in{\bf R}.
c) \displaystyle A och \displaystyle B inte kan uppfylla
Övning 7.19
Bestäm talen \displaystyle a, \displaystyle b och \displaystyle c så att matrisen
\frac{1}{3}\begin{pmatrix}a&2&2\\2&b&1\\2&1&c\end{pmatrix}
blir ortogonal.
Övning 7.20
Ge exempel på två matriser \displaystyle A och \displaystyle B som är både symmetriska och ortogonala, där \displaystyle A är av typen \displaystyle 2\times2 och \displaystyle B är av typen \displaystyle 3\times3 (\displaystyle A och \displaystyle B ej enhetsmatriser).
