6.5 Symmetriska och ortogonala matriser

Övning 7.15

Visa att om \displaystyle A är en kvadratisk matris så är följande matriser också symmetriska.

Övning 7.16

Visa att om \displaystyle A är en symmetrisk matris så är \displaystyle B^tAB symmetrisk för varje matris \displaystyle B för vilken produkterna gäller.

Övning 7.17

En kvadratisk matris \displaystyle A kallas Skevsymmetrisk om \displaystyle A^t=-A.

a) Visa att diagonalelementen i en skevsymmetrisk matris är alla 0.

b) Visa att om \displaystyle A och \displaystyle B är båda \displaystyle n\times n skevsymmetriska matriser så är även \displaystyle A+B en skevsymmetrisk matris.

c) Visa att om \displaystyle A är kvadratisk så är \displaystyle A-A^t skevsymmetrisk.

d) Visa att varje kvadratisk matris kan delas upp i en summa av en symmtrisk och en skevsymmetrisk matris.

Övning 7.18

Spåret till en kvadratisk matris \displaystyle A=(a_{ij})_{n\times n} definieras som summan av alla diagonalelementen och betecknas \displaystyle \mbox{sp}(A), dvs

Antag att \displaystyle A och \displaystyle B är båda \displaystyle n\times n matriser. Visa att

a) \displaystyle \mbox{sp}(A+B)=\mbox{sp}(A)+\mbox{sp}(B).

b) \displaystyle \mbox{sp}(\lambda A)=\lambda\mbox{sp}(A), där \displaystyle \lambda\in{\bf R}.

c) \displaystyle A och \displaystyle B inte kan uppfylla

Övning 7.19

Bestäm talen \displaystyle a, \displaystyle b och \displaystyle c så att matrisen

blir ortogonal.

Övning 7.20

Ge exempel på två matriser \displaystyle A och \displaystyle B som är både symmetriska och ortogonala, där \displaystyle A är av typen \displaystyle 2\times2 och \displaystyle B är av typen \displaystyle 3\times3 (\displaystyle A och \displaystyle B ej enhetsmatriser).