16. Linjära avbildningar

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Nuvarande version (4 oktober 2010 kl. 12.18) (redigera) (ogör)
 
(84 mellanliggande versioner visas inte.)
Rad 1: Rad 1:
-
=== Definition av linjär avbildning ===
+
I det här kapitlet ...
-
Läs textavsnittet om definition av linjär avbildning [[Bild:Kap16_1.pdf||center]]
 
-
Du har nu läst definitionen på linjär avbildning och här kommer några övningar som testar om du har tagit till dig stoffet.
 
-
'''Övningar'''
+
[[16.1 Definition av linjär avbildning]]
-
1. Låt <math>\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\}</math> vara en bas i <math>{\bf R}^2</math>. Avgör vilka av följande avbildningar är linjära.
+
[[16.2 Matrisframställning]]
-
:*<math>F_1(\boldsymbol{e}_1x_1+\boldsymbol{e}_2x_2)=x_2^2\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2</math>
+
-
:*<math>F_2(\underline{\boldsymbol{e}}X)=\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{c}{x_1+x_2}\\{x_1}\end{array}\right)</math>
+
-
:*<math>F_3(\underline{\boldsymbol{e}}X)=\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{c}{x_1}\\{1}\end{array}\right)</math>{{#NAVCONTENT:
+
-
Svar|Svar till övning 3|
+
-
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
+
-
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
+
-
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
+
-
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
+
-
2. Låt <math>F</math> och <math>G</math> vara avbildningar på rummet, som i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}} = \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3\}</math> ges av
+
[[16.3 Projektion och spegling]]
-
<center><math>F(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}Y = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x_1-x_2\\ 2x_2+3x_3\\ 2x_1-x_3\end{pmatrix},\qquad G(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x_1x_2\\ x_2^2\\ x_2+x_3\end{pmatrix}\,\mbox{.}</math></center>
+
[[16.4 Plan rotation]]
-
Undersök om <math>F</math> är linjär. Skriv avbildningen som en matrisprodukt, <math>Y=AX</math>, där <math>A</math> inte beror på <math>X</math>. Bestäm också basvektorernas bilder och visa hur dessa kan avläsas ur <math>A</math>. Undersök om <math>G</math> är
+
[[16.5 Rotation i rummet]]
-
linjär.{{#NAVCONTENT:
+
-
Svar|Svar till övning 1|
+
-
Tips 1|Tips 1 till övning 1|
+
-
Tips 2|Tips 2 till övning 1|
+
-
Tips 3|Tips 3 till övning 1|
+
-
Lösning|Lösning till övning 1}}
+
-
3. Låt <math>\boldsymbol{a}</math> vara en fix vektor i rummet. Vilka av följande avbildningar på rummet är linjära?
+
[[16.6 Sammansatta linjära avbildningar]]
-
<center><math>{\rm a)}\ F(\boldsymbol{u})=(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}\qquad{\rm b)}\ F(\boldsymbol{u})=\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{a}\qquad
+
[[16.7 Nollrum, Värderum och dimensionssatsen]]
-
{\rm c)}\ F(\boldsymbol{u})=(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}.</math></center>
+
-
{{#NAVCONTENT:
+
-
Svar|Svar till övning 2|
+
-
Tips 1|Tips 1 till övning 2|
+
-
Tips 2|Tips 2 till övning 2|
+
-
Tips 3|Tips 3 till övning 2|
+
-
Lösning|Lösning till övning 2}}
+
-
4. Hej
+
[[16.8 Basbyte]]
-
{{#NAVCONTENT:
+
-
Svar|Svar till övning 4|
+
-
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
+
-
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
+
-
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
+
-
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
+
 +
[[16.9 Linjära avbildningar och basbyte]]
-
=== Matrisframställning ===
+
[[16.10 Projektioner och speglingar med basbyte]]
-
 
+
[[16.11 Rotationer]]
-
Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning [[Bild:Kap16_2.pdf||center]]
+
-
 
+
-
 
+
-
1. Låt <math>\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\}</math> vara en bas i <math>{\bf R}^2</math>. Bestäm matrisen för den linjära avbildningen <math>F:{\bf R}^2\rightarrow:{\bf R}^2</math>, sådan att
+
-
<center><math>F(3\boldsymbol{e}_1+4\boldsymbol{e}_2)=5\boldsymbol{e}_1+6\boldsymbol{e}_2,\qquad F(2\boldsymbol{e}_1+3\boldsymbol{e}_2)=7\boldsymbol{e}_1+8\boldsymbol{e}_2</math></center>
+
-
{{#NAVCONTENT:
+
-
Svar|Svar till övning 3|
+
-
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
+
-
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
+
-
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
+
-
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
+
-
 
+
-
2. Bestäm matrisen till den linjära avbildningen <math>F:{\bf R^3}\rightarrow{\bf R}^3</math> som i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}</math> definieras genom
+
-
<center><math> F(\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2)=2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2,\qquad F(\boldsymbol{e}_2)=-\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3,\qquad
+
-
F(\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3)=2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+5\boldsymbol{e}_3. </math></center>
+
-
{{#NAVCONTENT:
+
-
Svar|Svar till övning 3|
+
-
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
+
-
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
+
-
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
+
-
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
+
-
 
+
-
3. Den linjära avbildningen <math>F:{\bf R^3}\rightarrow{\bf R}^3</math> har i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}</math> matrisen
+
-
<center><math> A=\left(\begin{array}{rrr}0&1&2\\5&-1&0\\4&0&-2\end{array}\right)</math></center>
+
-
Bestäm bilden <math>\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{r} 2\\-1 \\ 3\end{array}\right)</math> under <math>F</math>. Ange urbilden till <math> \boldsymbol{v}=2\boldsymbol{e}_1+5\boldsymbol{e}_2+2\boldsymbol{e}_3</math> under <math>F</math>.
+
-
{{#NAVCONTENT:
+
-
Svar|Svar till övning 3|
+
-
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
+
-
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
+
-
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
+
-
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
+
-
 
+
-
4. Bestäm matrisen till den linjära avbildningen <math>{\color{Blue}F}:{\bf R^3}\rightarrow{\bf R}^3</math> som i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> ges av
+
-
<center><math>
+
-
F(x_1,x_2,x_3)=(5x_1+2x_2+4x_3,2x_1+x_2+x_3,4x_1+x_2+6x_3)</math></center>
+
-
# Visa att <math>F</math> är linjär.
+
-
# Bestäm <math>F^{-1}</math>:s matris i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math>
+
-
{{#NAVCONTENT:
+
-
Svar|Svar till övning 3|
+
-
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
+
-
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
+
-
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
+
-
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
+
-
 
+
-
5. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> vara en bas för <math>V$, där dim <math>V=2</math>.
+
-
Ange matrisen för den linjära avbildning, <math>F</math>, som byter plats på <math>\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2</math> och <math>2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2</math>.
+
-
Bestäm sedan vektorer <math>\boldsymbol{f}_1</math>, <math>\boldsymbol{f}_2</math> sådan att <math>F(\boldsymbol{f}_1)=\boldsymbol{f}_1</math> och <math>F(\boldsymbol{f}_2)=-\boldsymbol{f}_2</math>.
+
-
Välj <math>\underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{f}_2\}</math> som bas. Ange <math>F</math>:s matris i denna bas.
+
-
{{#NAVCONTENT:
+
-
Svar|Svar till övning 3|
+
-
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
+
-
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
+
-
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
+
-
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
+
-
 
+
-
6. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> vara en ON-bas i rummet och låt
+
-
<center><math>F(\boldsymbol{u})=\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{a},</math></center>
+
-
där <math>\boldsymbol{a}=\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2+2\boldsymbol{e}_3</math>.
+
-
# Bestäm <math>F</math>:s matris i denna bas.
+
-
# Vektorerna
+
-
<center><math>\boldsymbol{f}_1=\frac{1}{3}\boldsymbol{a},\qquad\boldsymbol{f}_2=\frac{1}{3}(2\boldsymbol{e}_1-2\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3),\qquad \boldsymbol{f}_3=\frac{1}{3}(2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2-2\boldsymbol{e}_3).</math></center> utgör en ny bas. Bestäm <math>F</math>:s matris i den nya basen <math>\underline{\boldsymbol{f}}=<math>\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2,\boldsymbol{f}_3\}</math>
+
-
{{#NAVCONTENT:
+
-
Svar|Svar till övning 3|
+
-
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
+
-
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
+
-
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
+
-
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
+
-
 
+
-
7. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> vara en bas för <math>V</math>, där dim <math> V=2</math>.
+
-
Antag att <math>F:V\mapsto V$ är en linjär avbildning som uppfyller
+
-
<center><math>\left\{\begin{array}{lcr}F(\boldsymbol{e}_1)&=&\frac{1}{\sqrt2}(\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2)\vspace{3mm}\\ F(\boldsymbol{e}_2)&=&\frac{1}{\sqrt2}(-\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2)\end{array}\right.</math></center>
+
-
Bestäm matrisen för <math>F^2</math> i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math>.
+
-
{{#NAVCONTENT:
+
-
Svar|Svar till övning 3|
+
-
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
+
-
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
+
-
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
+
-
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
+
-
 
+
-
 
+
-
Du ska nu testa rimligheten i svaret. Avbildningsmatrisen skriver Du i Maple enligt
+
-
 
+
-
<pre>
+
-
> A:=matrix(2,2,[-13,11,-14,12]);
+
-
 
+
-
 
+
-
Den första urbilden skriver Du som
+
-
 
+
-
> u1:=matrix(2,1,[3,4]);
+
-
 
+
-
Använd nu multiplikations kommandot för att bestämma första bilden
+
-
 
+
-
> v1=multiply(A,u1);
+
-
</pre>
+
-
 
+
-
Räknar Maple rätt?
+
-
 
+
-
Kontrollera nu den andra urbilden!
+
-
 
+
-
 
+
-
 
+
-
 
+
-
 
+
-
=== Projektion och spegling ===
+
-
=== Plan rotation ===
+
-
=== Rotation i rummet ===
+
-
=== Sammansatta linjära avbildningar ===
+
-
=== Nollrum, Värderum och dimensionssatsen ===
+
-
=== Basbyte ===
+
-
=== Linjära avbildningar och basbyte ===
+
-
=== Projektioner och speglingar med basbyte ===
+
-
=== Rotationer ===
+

Nuvarande version

I det här kapitlet ...


16.1 Definition av linjär avbildning

16.2 Matrisframställning

16.3 Projektion och spegling

16.4 Plan rotation

16.5 Rotation i rummet

16.6 Sammansatta linjära avbildningar

16.7 Nollrum, Värderum och dimensionssatsen

16.8 Basbyte

16.9 Linjära avbildningar och basbyte

16.10 Projektioner och speglingar med basbyte

16.11 Rotationer

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/16._Linj%C3%A4ra_avbildningar