16.9 Linjära avbildningar och basbyte
SamverkanLinalgLIU
(Lagt in navigeringstabbar) |
|||
| (En mellanliggande version visas inte.) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| + | {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | ||
| + | | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | | ||
| + | {{Mall:Ej vald flik|[[16.1 Definition av linjär avbildning|16.1]]}} | ||
| + | {{Mall:Ej vald flik|[[16.2 Matrisframställning|16.2]]}} | ||
| + | {{Mall:Ej vald flik|[[16.3 Projektion och spegling|16.3]]}} | ||
| + | {{Mall:Ej vald flik|[[16.4 Plan rotation|16.4]]}} | ||
| + | {{Mall:Ej vald flik|[[16.5 Rotation i rummet|16.5]]}} | ||
| + | {{Mall:Ej vald flik|[[16.6 Sammansatta linjära avbildningar|16.6]]}} | ||
| + | {{Mall:Ej vald flik|[[16.7 Nollrum, Värderum och dimensionssatsen|16.7]]}} | ||
| + | {{Mall:Ej vald flik|[[16.8 Basbyte|16.8]]}} | ||
| + | {{Mall:Vald flik|[[16.9 Linjära avbildningar och basbyte|16.9]]}} | ||
| + | {{Mall:Ej vald flik|[[16.10 Projektioner och speglingar med basbyte|16.10]]}} | ||
| + | {{Mall:Ej vald flik|[[16.11 Rotationer|16.11]]}} | ||
| + | | style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| | ||
| + | |} | ||
| + | |||
| + | |||
Läs textavsnitt [http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/img_auth.php/e/eb/Kap16_9.pdf 16.9 Linjära avbildningar och basbyte] | Läs textavsnitt [http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/img_auth.php/e/eb/Kap16_9.pdf 16.9 Linjära avbildningar och basbyte] | ||
| + | |||
'''Övningar''' | '''Övningar''' | ||
| Rad 8: | Rad 26: | ||
<center><math>\boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2,\qquad | <center><math>\boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2,\qquad | ||
\boldsymbol{f}_2=-\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2.</math></center> | \boldsymbol{f}_2=-\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2.</math></center> | ||
| - | Ange också sambandet mellan koordinaterna i de båda baserna. | + | Ange också sambandet mellan koordinaterna i de båda baserna.<!-- |
| - | {{#NAVCONTENT: | + | -->{{#NAVCONTENT: |
Svar|Svar till övning 17.31| | Svar|Svar till övning 17.31| | ||
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 17.31}} | Tips och lösning|Tips och lösning till övning 17.31}} | ||
| Rad 21: | Rad 39: | ||
Bestäm matrisen för <math>F</math> med avseende på basen <math>\underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}</math>, där | Bestäm matrisen för <math>F</math> med avseende på basen <math>\underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}</math>, där | ||
| - | <center><math>\boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_1,\qquad\boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2,\qquad\boldsymbol{f}_3=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3.</math></center> | + | <center><math>\boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_1,\qquad\boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2,\qquad\boldsymbol{f}_3=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3.</math></center><!-- |
| - | {{#NAVCONTENT: | + | -->{{#NAVCONTENT: |
Svar|Svar till övning 17.32| | Svar|Svar till övning 17.32| | ||
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 17.32}} | Tips och lösning|Tips och lösning till övning 17.32}} | ||
| Rad 29: | Rad 47: | ||
17.33. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}</math> var en bas i rummet och <math>F</math> en linjär avbildning med matrisen | 17.33. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}</math> var en bas i rummet och <math>F</math> en linjär avbildning med matrisen | ||
| - | <center><math>A=\left(\begin{array}{rrr} | + | <center><math>A=\left(\begin{array}{rrr} 1& 2& 1\\ 3& -1& 2\\ 1& 1& -1\end{array}\right). </math></center> |
i denna bas. Vad är matrisen för <math>F</math> i den bas <math>\underline{\boldsymbol{f}}</math> som ges av | i denna bas. Vad är matrisen för <math>F</math> i den bas <math>\underline{\boldsymbol{f}}</math> som ges av | ||
<center><math> | <center><math> | ||
\boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_2-\boldsymbol{e}_3,\qquad | \boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_2-\boldsymbol{e}_3,\qquad | ||
\boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3,\qquad | \boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3,\qquad | ||
| - | \boldsymbol{f}_3=-\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2.</math></center> | + | \boldsymbol{f}_3=-\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2.</math></center><!-- |
| - | {{#NAVCONTENT: | + | -->{{#NAVCONTENT: |
Svar|Svar till övning 17.33| | Svar|Svar till övning 17.33| | ||
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 17.33}} | Tips och lösning|Tips och lösning till övning 17.33}} | ||
| Rad 47: | Rad 65: | ||
\boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2,\qquad | \boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2,\qquad | ||
\boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3,\qquad | \boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3,\qquad | ||
| - | \boldsymbol{f}_3=\boldsymbol{e}_1.</math></center> | + | \boldsymbol{f}_3=\boldsymbol{e}_1.</math></center><!-- |
| - | {{#NAVCONTENT: | + | -->{{#NAVCONTENT: |
Svar|Svar till övning 17.34| | Svar|Svar till övning 17.34| | ||
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 17.34}} | Tips och lösning|Tips och lösning till övning 17.34}} | ||
| + | |||
'''Reflektionsuppgifter''' | '''Reflektionsuppgifter''' | ||
Nuvarande version
| 16.1 | 16.2 | 16.3 | 16.4 | 16.5 | 16.6 | 16.7 | 16.8 | 16.9 | 16.10 | 16.11 |
Läs textavsnitt 16.9 Linjära avbildningar och basbyte
Övningar
17.31. Den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R}^2\rightarrow{\bf R}^2 har i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\} matrisen
Ange \displaystyle F:s matris \displaystyle A_{\boldsymbol{f}} i basen
Ange också sambandet mellan koordinaterna i de båda baserna.
Hämtar...
17.32 Antag att \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} är en bas för \displaystyle {\bf R}^3 och låt den linjära avbildningen
\displaystyle F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3 definieras genom
Bestäm matrisen för \displaystyle F med avseende på basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}, där
17.33. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} var en bas i rummet och \displaystyle F en linjär avbildning med matrisen
i denna bas. Vad är matrisen för \displaystyle F i den bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} som ges av
\boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_2-\boldsymbol{e}_3,\qquad \boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3,\qquad
\boldsymbol{f}_3=-\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2.
17.34. Avbildningen \displaystyle F har i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} matrisen
Bestäm \displaystyle F:s matris i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} om
\boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2,\qquad \boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3,\qquad
\boldsymbol{f}_3=\boldsymbol{e}_1.
Reflektionsuppgifter
1. Beskriv för en kamrat vad det är som påverkar utseendet på avbildningsmatrisen.
2. Beskriv vad matriserna \displaystyle A resp \displaystyle T reglerar. Påverkar de varandra? I så fall hur?
3. Hur beräknas kolonnerna i \displaystyle A resp \displaystyle T?
