16.9 Linjära avbildningar och basbyte

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Nuvarande version (25 mars 2010 kl. 07.43) (redigera) (ogör)
(Lagt in navigeringstabbar)
 
(14 mellanliggande versioner visas inte.)
Rad 1: Rad 1:
-
Läs textavsnitt [[Bild:Kap16_9.pdf||center]]
+
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
-
16.9 Linjära avbildningar och basbyte]
+
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 +
{{Mall:Ej vald flik|[[16.1 Definition av linjär avbildning|16.1]]}}
 +
{{Mall:Ej vald flik|[[16.2 Matrisframställning|16.2]]}}
 +
{{Mall:Ej vald flik|[[16.3 Projektion och spegling|16.3]]}}
 +
{{Mall:Ej vald flik|[[16.4 Plan rotation|16.4]]}}
 +
{{Mall:Ej vald flik|[[16.5 Rotation i rummet|16.5]]}}
 +
{{Mall:Ej vald flik|[[16.6 Sammansatta linjära avbildningar|16.6]]}}
 +
{{Mall:Ej vald flik|[[16.7 Nollrum, Värderum och dimensionssatsen|16.7]]}}
 +
{{Mall:Ej vald flik|[[16.8 Basbyte|16.8]]}}
 +
{{Mall:Vald flik|[[16.9 Linjära avbildningar och basbyte|16.9]]}}
 +
{{Mall:Ej vald flik|[[16.10 Projektioner och speglingar med basbyte|16.10]]}}
 +
{{Mall:Ej vald flik|[[16.11 Rotationer|16.11]]}}
 +
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
 +
|}
 +
 
 +
 
 +
Läs textavsnitt [http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/img_auth.php/e/eb/Kap16_9.pdf 16.9 Linjära avbildningar och basbyte]
 +
 
'''Övningar'''
'''Övningar'''
-
1. Den linjära avbildningen <math>F:{\bf R}^2\rightarrow{\bf R}^2</math> har i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\}</math> har matrisen
+
17.31. Den linjära avbildningen <math>F:{\bf R}^2\rightarrow{\bf R}^2</math> har i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\}</math> matrisen
<center><math>A_{\boldsymbol{e}}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{rr} 1& 1\\ -1& 1\end{array}\right). </math></center>
<center><math>A_{\boldsymbol{e}}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{rr} 1& 1\\ -1& 1\end{array}\right). </math></center>
Ange <math>F</math>:s matris <math>A_{\boldsymbol{f}}</math> i basen
Ange <math>F</math>:s matris <math>A_{\boldsymbol{f}}</math> i basen
<center><math>\boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2,\qquad
<center><math>\boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2,\qquad
\boldsymbol{f}_2=-\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2.</math></center>
\boldsymbol{f}_2=-\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2.</math></center>
-
Ange också sambandet mellan koordinaterna i de båda baserna.
+
Ange också sambandet mellan koordinaterna i de båda baserna.<!--
-
{{#NAVCONTENT:
+
-
Svar|Svar till övning 1|
+
-
Tips 1|Tips 1 till övning 1|
+
-
Tips 2|Tips 2 till övning 1|
+
-
Tips 3|Tips 3 till övning 1|
+
-
Lösning|Lösning till övning 1}}
+
-
2. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}</math> var en bas i rummet och <math>F</math> en linjär avbildning med matrisen
+
-->{{#NAVCONTENT:
-
<center><math>A=\left(\begin{array}{rrr} 2& 0& 1\\ 1& -1& 0\\ 2& 2& 1\end{array}\right). </math></center>
+
Svar|Svar till övning 17.31|
 +
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 17.31}}
 +
 
 +
 
 +
17.32 Antag att <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}</math> är en bas för <math>{\bf R}^3</math> och låt den linjära avbildningen
 +
<math>F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3</math> definieras genom
 +
 
 +
<center><math>F(\boldsymbol{e}_1)=\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_3,\qquad F(\boldsymbol{e}_2)=\boldsymbol{e}_1+3\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3,\qquad F(\boldsymbol{e}_3)=2\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3.</math></center>
 +
Bestäm matrisen för <math>F</math> med avseende på basen <math>\underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}</math>, där
 +
 
 +
<center><math>\boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_1,\qquad\boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2,\qquad\boldsymbol{f}_3=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3.</math></center><!--
 +
 
 +
-->{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till övning 17.32|
 +
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 17.32}}
 +
 
 +
 
 +
17.33. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}</math> var en bas i rummet och <math>F</math> en linjär avbildning med matrisen
 +
<center><math>A=\left(\begin{array}{rrr} 1& 2& 1\\ 3& -1& 2\\ 1& 1& -1\end{array}\right). </math></center>
i denna bas. Vad är matrisen för <math>F</math> i den bas <math>\underline{\boldsymbol{f}}</math> som ges av
i denna bas. Vad är matrisen för <math>F</math> i den bas <math>\underline{\boldsymbol{f}}</math> som ges av
<center><math>
<center><math>
\boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_2-\boldsymbol{e}_3,\qquad
\boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_2-\boldsymbol{e}_3,\qquad
\boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3,\qquad
\boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3,\qquad
-
\boldsymbol{f}_3=-\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2.</math></center>
+
\boldsymbol{f}_3=-\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2.</math></center><!--
-
{{#NAVCONTENT:
+
-
Svar|Svar till övning 2|
+
-
Tips 1|Tips 1 till övning 2|
+
-
Tips 2|Tips 2 till övning 2|
+
-
Tips 3|Tips 3 till övning 2|
+
-
Lösning|Lösning till övning 2}}
+
-
3. Avbildningen <math>F</math> har i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> matrisen
+
-->{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till övning 17.33|
 +
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 17.33}}
 +
 
 +
 
 +
17.34. Avbildningen <math>F</math> har i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> matrisen
<center><math>A=\left(\begin{array}{rrr} 2& 0& 1\\ 1& -1& 0\\ 2& 2& 1\end{array}\right). </math></center>
<center><math>A=\left(\begin{array}{rrr} 2& 0& 1\\ 1& -1& 0\\ 2& 2& 1\end{array}\right). </math></center>
Bestäm <math>F</math>:s matris i basen <math>\underline{\boldsymbol{f}}</math> om
Bestäm <math>F</math>:s matris i basen <math>\underline{\boldsymbol{f}}</math> om
Rad 37: Rad 65:
\boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2,\qquad
\boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2,\qquad
\boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3,\qquad
\boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3,\qquad
-
\boldsymbol{f}_3=\boldsymbol{e}_1.</math></center>
+
\boldsymbol{f}_3=\boldsymbol{e}_1.</math></center><!--
-
{{#NAVCONTENT:
+
-
Svar|Svar till övning 3|
+
-
Tips 1|Tips 1 till övning 3|
+
-
Tips 2|Tips 2 till övning 3|
+
-
Tips 3|Tips 3 till övning 3|
+
-
Lösning|Lösning till övning 3}}
+
-
4. Antag att <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}</math> är en bas i <math>{\bf R}^3</math> och låt den linjära avbildningen
+
-->{{#NAVCONTENT:
-
<math>F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3</math> definieras genom
+
Svar|Svar till övning 17.34|
-
<center><math>
+
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 17.34}}
-
F(\boldsymbol{e}_1)=\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_3,\qquad
+
-
F(\boldsymbol{e}_2)=\boldsymbol{e}_1+3\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3\qquad
+
-
F(\boldsymbol{e}_3)=2\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3.</math></center>
+
-
Bestäm matrisen till <math>F</math> med avseende på basen
+
-
<math>\underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2,\boldsymbol{f}_3\}</math>, där
+
-
<center><math>
+
-
\boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_1\qquad
+
-
\boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2,\qquad
+
-
\boldsymbol{f}_3=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3.</math></center>
+
-
{{#NAVCONTENT:
+
-
Svar|Svar till övning 4|
+
-
Tips 1|Tips 1 till övning 4|
+
-
Tips 2|Tips 2 till övning 4|
+
-
Tips 3|Tips 3 till övning 4|
+
-
Lösning|Lösning till övning 4}}
+
-
5. Visa att matriserna
+
 
-
<center><math>
+
'''Reflektionsuppgifter'''
-
A=\left(\begin{array}{rrr} 0& -1& 0\\ 1& 0& 1\\ 1& 2& 3\end{array}\right)\qquad och\qquad
+
 
-
B=\left(\begin{array}{rrr} 1& 0& 1\\ 1& 2& 0\\ -1& 0& 3\end{array}\right)</math></center>
+
1. Beskriv för en kamrat vad det är som påverkar utseendet på avbildningsmatrisen.
-
ej kan representera samma linjära avbildning <math>F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3</math>.
+
 
-
{{#NAVCONTENT:
+
2. Beskriv vad matriserna <math>A</math> resp <math>T</math> reglerar. Påverkar de varandra? I så fall hur?
-
Svar|Svar till övning 5|
+
 
-
Tips 1|Tips 1 till övning 5|
+
3. Hur beräknas kolonnerna i <math>A</math> resp <math>T</math>?
-
Tips 2|Tips 2 till övning 5|
+
-
Tips 3|Tips 3 till övning 5|
+
-
Lösning|Lösning till övning 5}}
+

Nuvarande version

       16.1          16.2          16.3          16.4          16.5          16.6          16.7          16.8          16.9          16.10          16.11      


Läs textavsnitt 16.9 Linjära avbildningar och basbyte


Övningar

17.31. Den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R}^2\rightarrow{\bf R}^2 har i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\} matrisen

\displaystyle A_{\boldsymbol{e}}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{rr} 1& 1\\ -1& 1\end{array}\right).

Ange \displaystyle F:s matris \displaystyle A_{\boldsymbol{f}} i basen

\displaystyle \boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2,\qquad \boldsymbol{f}_2=-\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2.

Ange också sambandet mellan koordinaterna i de båda baserna.

Svar
Svar till övning 17.31
Tips och lösning
Tips och lösning till övning 17.31


17.32 Antag att \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} är en bas för \displaystyle {\bf R}^3 och låt den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3 definieras genom

\displaystyle F(\boldsymbol{e}_1)=\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_3,\qquad F(\boldsymbol{e}_2)=\boldsymbol{e}_1+3\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3,\qquad F(\boldsymbol{e}_3)=2\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3.

Bestäm matrisen för \displaystyle F med avseende på basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}, där

\displaystyle \boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_1,\qquad\boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2,\qquad\boldsymbol{f}_3=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3.
Svar
Svar till övning 17.32
Tips och lösning
Tips och lösning till övning 17.32


17.33. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} var en bas i rummet och \displaystyle F en linjär avbildning med matrisen

\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr} 1& 2& 1\\ 3& -1& 2\\ 1& 1& -1\end{array}\right).

i denna bas. Vad är matrisen för \displaystyle F i den bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} som ges av

\displaystyle

\boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_2-\boldsymbol{e}_3,\qquad \boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3,\qquad

\boldsymbol{f}_3=-\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2.
Svar
Svar till övning 17.33
Tips och lösning
Tips och lösning till övning 17.33


17.34. Avbildningen \displaystyle F har i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} matrisen

\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr} 2& 0& 1\\ 1& -1& 0\\ 2& 2& 1\end{array}\right).

Bestäm \displaystyle F:s matris i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} om

\displaystyle

\boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2,\qquad \boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3,\qquad

\boldsymbol{f}_3=\boldsymbol{e}_1.
Svar
Svar till övning 17.34
Tips och lösning
Tips och lösning till övning 17.34


Reflektionsuppgifter

1. Beskriv för en kamrat vad det är som påverkar utseendet på avbildningsmatrisen.

2. Beskriv vad matriserna \displaystyle A resp \displaystyle T reglerar. Påverkar de varandra? I så fall hur?

3. Hur beräknas kolonnerna i \displaystyle A resp \displaystyle T?

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/16.9_Linj%C3%A4ra_avbildningar_och_basbyte