16. Linjära avbildningar

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
(Ny sida: === Definition av linjär avbildning === Läs textavsnittet om definition av linjär avbildning center Du har nu läst definitionen på linjär avbildning och här k...)
Nuvarande version (4 oktober 2010 kl. 12.18) (redigera) (ogör)
 
(109 mellanliggande versioner visas inte.)
Rad 1: Rad 1:
-
=== Definition av linjär avbildning ===
+
I det här kapitlet ...
-
Läs textavsnittet om definition av linjär avbildning [[Bild:Kap16_1.pdf||center]]
 
-
Du har nu läst definitionen på linjär avbildning och här kommer några övningar som testar om du har tagit till dig stoffet.
 
-
'''Övningar'''
+
[[16.1 Definition av linjär avbildning]]
-
1. Låt <math>F</math> och <math>G</math> vara avbildningar på rummet, som i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}} = \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3\}</math> ges av
+
[[16.2 Matrisframställning]]
-
<center><math>F(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}Y = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x_1-x_2\\ 2x_2+3x_3\\ 2x_1-x_3\end{pmatrix},\qquad G(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x_1x_2\\ x_2^2\\ x_2+x_3\end{pmatrix}\,\mbox{.}</math></center>
+
[[16.3 Projektion och spegling]]
-
Undersök om <math>F</math> är linjär. Skriv avbildningen som en matrisprodukt, <math>Y=AX</math>, där <math>A</math> inte beror på <math>X</math>. Bestäm också basvektorernas bilder och visa hur dessa kan avläsas ur <math>A</math>. Undersök om <math>G</math> är
+
[[16.4 Plan rotation]]
-
linjär.{{#NAVCONTENT:
+
-
Svar|Svar till övning 1|
+
-
Tips 1|Tips 1 till övning 1|
+
-
Tips 2|Tips 2 till övning 1|
+
-
Tips 3|Tips 3 till övning 1|
+
-
Lösning|Lösning till övning 1}}
+
 +
[[16.5 Rotation i rummet]]
 +
[[16.6 Sammansatta linjära avbildningar]]
-
2. Låt <math>\boldsymbol{a}</math> vara en fix vektor i rummet. Vilka av följande avbildningar på rummet är linjära?
+
[[16.7 Nollrum, Värderum och dimensionssatsen]]
-
<center><math>{\rm a)}\ F(\boldsymbol{u})=(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}\qquad{\rm b)}\ F(\boldsymbol{u})=\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{a}\qquad
+
[[16.8 Basbyte]]
-
{\rm c)}\ F(\boldsymbol{u})=(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}.</math></center>
+
-
{{#NAVCONTENT:
+
-
Svar|Svar till övning 2|
+
-
Tips 1|Tips 1 till övning 2|
+
-
Tips 2|Tips 2 till övning 2|
+
-
Tips 3|Tips 3 till övning 2|
+
-
Lösning|Lösning till övning 2}}
+
 +
[[16.9 Linjära avbildningar och basbyte]]
 +
[[16.10 Projektioner och speglingar med basbyte]]
-
3. Låt <math>\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\}</math> vara en bas i <math>{\bf R}^2</math>. Avgör vilka av följande avbildningar är linjära.
+
[[16.11 Rotationer]]
-
\begin{enumerate}
+
-
\item <math>F_1(\boldsymbol{e}_1x_1+\boldsymbol{e}_2x_2)=x_2^2\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2</math>
+
-
\item <math>F_2(\underline{\boldsymbol{e}}X)=\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{c}{x_1+x_2}\\{x_1}\end{array}\right)</math>
+
-
\item <math>F_3(\underline{\boldsymbol{e}}X)=\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{c}{x_1}\\{1}\end{array}\right)</math>
+
-
\end{enumerate}
+
-
{{#NAVCONTENT:
+
-
Svar|Endast <math>F_2</math>|
+
-
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
+
-
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
+
-
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
+
-
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
+
-
 
+
-
 
+
-
 
+
-
 
+
-
=== Matrisframställning ===
+
-
 
+
-
 
+
-
Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning [[Bild:Kap16_2.pdf||center]]
+
-
 
+
-
 
+
-
1. Gör övning 17.22.
+
-
[[Bild:o_linavb.pdf||center]]
+
-
 
+
-
 
+
-
Du ska nu testa rimligheten i svaret. Avbildningsmatrisen skriver Du i Maple enligt
+
-
 
+
-
<pre>
+
-
> A:=matrix(2,2,[-13,11,-14,12]);
+
-
 
+
-
 
+
-
Den första urbilden skriver Du som
+
-
 
+
-
> u1:=matrix(2,1,[3,4]);
+
-
 
+
-
Använd nu multiplikations kommandot för att bestämma första bilden
+
-
 
+
-
> v1=multiply(A,u1);
+
-
</pre>
+
-
 
+
-
Räknar Maple rätt?
+
-
 
+
-
Kontrollera nu den andra urbilden!
+
-
 
+
-
 
+
-
 
+
-
 
+
-
<math> \begin{array}{l@{}c@{}r} z & = & a \\ f(x,y,z) & = & x + y + z\end{array}</math>
+
-
 
+
-
=== Projektion och spegling ===
+
-
=== Plan rotation ===
+

Nuvarande version

I det här kapitlet ...


16.1 Definition av linjär avbildning

16.2 Matrisframställning

16.3 Projektion och spegling

16.4 Plan rotation

16.5 Rotation i rummet

16.6 Sammansatta linjära avbildningar

16.7 Nollrum, Värderum och dimensionssatsen

16.8 Basbyte

16.9 Linjära avbildningar och basbyte

16.10 Projektioner och speglingar med basbyte

16.11 Rotationer

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/16._Linj%C3%A4ra_avbildningar