16.2 Matrisframställning
SamverkanLinalgLIU
(Skillnad mellan versioner)
(Lagt in navigeringstabbar) |
|||
| (11 mellanliggande versioner visas inte.) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| - | + | {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | |
| + | | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | | ||
| + | {{Mall:Ej vald flik|[[16.1 Definition av linjär avbildning|16.1]]}} | ||
| + | {{Mall:Vald flik|[[16.2 Matrisframställning|16.2]]}} | ||
| + | {{Mall:Ej vald flik|[[16.3 Projektion och spegling|16.3]]}} | ||
| + | {{Mall:Ej vald flik|[[16.4 Plan rotation|16.4]]}} | ||
| + | {{Mall:Ej vald flik|[[16.5 Rotation i rummet|16.5]]}} | ||
| + | {{Mall:Ej vald flik|[[16.6 Sammansatta linjära avbildningar|16.6]]}} | ||
| + | {{Mall:Ej vald flik|[[16.7 Nollrum, Värderum och dimensionssatsen|16.7]]}} | ||
| + | {{Mall:Ej vald flik|[[16.8 Basbyte|16.8]]}} | ||
| + | {{Mall:Ej vald flik|[[16.9 Linjära avbildningar och basbyte|16.9]]}} | ||
| + | {{Mall:Ej vald flik|[[16.10 Projektioner och speglingar med basbyte|16.10]]}} | ||
| + | {{Mall:Ej vald flik|[[16.11 Rotationer|16.11]]}} | ||
| + | | style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| | ||
| + | |} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | Läs textavsnitt [http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/img_auth.php/7/79/Kap16_2.pdf 16.2 Matrisframställning] | ||
| + | |||
'''Övningar''' | '''Övningar''' | ||
| Rad 5: | Rad 23: | ||
17.5. Låt <math>\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\}</math> vara en bas i <math>{\bf R}^2</math>. Bestäm matrisen för den linjära avbildningen <math>F:{\bf R}^2\rightarrow:{\bf R}^2</math>, sådan att | 17.5. Låt <math>\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\}</math> vara en bas i <math>{\bf R}^2</math>. Bestäm matrisen för den linjära avbildningen <math>F:{\bf R}^2\rightarrow:{\bf R}^2</math>, sådan att | ||
| - | <center><math>F(3\boldsymbol{e}_1+4\boldsymbol{e}_2)=5\boldsymbol{e}_1+6\boldsymbol{e}_2,\qquad F(2\boldsymbol{e}_1+3\boldsymbol{e}_2)=7\boldsymbol{e}_1+8\boldsymbol{e}_2</math></center> | + | <center><math>F(3\boldsymbol{e}_1+4\boldsymbol{e}_2)=5\boldsymbol{e}_1+6\boldsymbol{e}_2,\qquad F(2\boldsymbol{e}_1+3\boldsymbol{e}_2)=7\boldsymbol{e}_1+8\boldsymbol{e}_2</math></center><!-- |
| - | {{#NAVCONTENT: | + | -->{{#NAVCONTENT: |
Svar|Svar till övning 17.5| | Svar|Svar till övning 17.5| | ||
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 17.5}} | Tips och lösning|Tips och lösning till övning 17.5}} | ||
| - | Du ska nu testa rimligheten i svaret. Avbildningsmatrisen skriver Du i Maple enligt | ||
| - | |||
| - | <pre> | ||
| - | > A:=matrix(2,2,[-13,11,-14,12]); | ||
| - | |||
| - | |||
| - | Den första urbilden skriver Du som | ||
| - | |||
| - | > u1:=matrix(2,1,[3,4]); | ||
| - | |||
| - | Använd nu multiplikations kommandot för att bestämma första bilden | ||
| - | |||
| - | > v1=multiply(A,u1); | ||
| - | </pre> | ||
| - | |||
| - | Räknar Maple rätt? | ||
| - | |||
| - | Kontrollera nu den andra urbilden! | ||
17.6. Den linjära avbildningen <math>F:{\bf R^3}\rightarrow{\bf R}^3</math> har i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}</math> matrisen | 17.6. Den linjära avbildningen <math>F:{\bf R^3}\rightarrow{\bf R}^3</math> har i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}</math> matrisen | ||
<center><math> A=\left(\begin{array}{rrr}0&1&2\\5&-1&0\\4&0&-2\end{array}\right)</math></center> | <center><math> A=\left(\begin{array}{rrr}0&1&2\\5&-1&0\\4&0&-2\end{array}\right)</math></center> | ||
| - | a) Bestäm bilden <math>\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{r} 2\\-1 \\ 3\end{array}\right)</math> under <math>F</math>. b) Ange urbilden till <math> \boldsymbol{v}=2\boldsymbol{e}_1+5\boldsymbol{e}_2+2\boldsymbol{e}_3</math> under <math>F</math>. | + | a) Bestäm bilden <math>\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{r} 2\\-1 \\ 3\end{array}\right)</math> under <math>F</math>. b) Ange urbilden till <math> \boldsymbol{v}=2\boldsymbol{e}_1+5\boldsymbol{e}_2+2\boldsymbol{e}_3</math> under <math>F</math>.<!-- |
| - | {{#NAVCONTENT: | + | -->{{#NAVCONTENT: |
Svar|Svar till övning 17.6| | Svar|Svar till övning 17.6| | ||
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 17.6}} | Tips och lösning|Tips och lösning till övning 17.6}} | ||
| - | + | 17.7. Bestäm matrisen till den linjära avbildningen <math>F:{\bf R^3}\rightarrow{\bf R}^3</math> som i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}</math> definieras genom | |
<center><math> F(\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2)=2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2,\qquad F(\boldsymbol{e}_2)=-\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3,\qquad | <center><math> F(\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2)=2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2,\qquad F(\boldsymbol{e}_2)=-\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3,\qquad | ||
| - | F(\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3)=2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+5\boldsymbol{e}_3. </math></center> | + | F(\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3)=2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+5\boldsymbol{e}_3. </math></center><!-- |
| - | {{#NAVCONTENT: | + | -->{{#NAVCONTENT: |
| - | Svar|Svar till övning | + | Svar|Svar till övning 17.7| |
| - | Tips och lösning|Tips och lösning till övning | + | Tips och lösning|Tips och lösning till övning 17.7}} |
| - | + | 17.8. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> vara en bas för <math>V</math>., där dim <math>V=2</math>. | |
Ange matrisen för den linjära avbildning, <math>F</math>, som byter plats på <math>\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2</math> och <math>2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2</math>. | Ange matrisen för den linjära avbildning, <math>F</math>, som byter plats på <math>\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2</math> och <math>2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2</math>. | ||
Bestäm sedan vektorer <math>\boldsymbol{f}_1</math>, <math>\boldsymbol{f}_2</math> sådan att <math>F(\boldsymbol{f}_1)=\boldsymbol{f}_1</math> och <math>F(\boldsymbol{f}_2)=-\boldsymbol{f}_2</math>. | Bestäm sedan vektorer <math>\boldsymbol{f}_1</math>, <math>\boldsymbol{f}_2</math> sådan att <math>F(\boldsymbol{f}_1)=\boldsymbol{f}_1</math> och <math>F(\boldsymbol{f}_2)=-\boldsymbol{f}_2</math>. | ||
| - | Välj <math>\underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{f}_2\}</math> som bas. Ange <math>F</math>:s matris i denna bas. | + | Välj <math>\underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{f}_2\}</math> som bas. Ange <math>F</math>:s matris i denna bas.<!-- |
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | + | ||
| + | -->{{#NAVCONTENT: | ||
| + | Svar|Svar till övning 17.8| | ||
| + | Tips och lösning|Tips och lösning till övning 17.8}} | ||
| - | + | ||
| + | 17.9. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> vara en högerorienterad ON-bas i rummet och låt | ||
<center><math>F(\boldsymbol{u})=\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{a},</math></center> | <center><math>F(\boldsymbol{u})=\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{a},</math></center> | ||
där <math>\boldsymbol{a}=\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2+2\boldsymbol{e}_3</math>. | där <math>\boldsymbol{a}=\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2+2\boldsymbol{e}_3</math>. | ||
# Bestäm <math>F</math>:s matris i denna bas. | # Bestäm <math>F</math>:s matris i denna bas. | ||
# Vektorerna | # Vektorerna | ||
| - | <center><math>\boldsymbol{f}_1=\frac{1}{3}\boldsymbol{a},\qquad\boldsymbol{f}_2=\frac{1}{3}(2\boldsymbol{e}_1-2\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3),\qquad \boldsymbol{f}_3=\frac{1}{3}(2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2-2\boldsymbol{e}_3).</math></center> utgör en ny bas. Bestäm <math>F</math>:s matris i den nya basen <math>\underline{\boldsymbol{f}}=<math>\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2,\boldsymbol{f}_3\}</math> | + | <center><math>\boldsymbol{f}_1=\frac{1}{3}\boldsymbol{a},\qquad\boldsymbol{f}_2=\frac{1}{3}(2\boldsymbol{e}_1-2\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3),\qquad \boldsymbol{f}_3=\frac{1}{3}(2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2-2\boldsymbol{e}_3).</math></center> utgör en ny bas. Bestäm <math>F</math>:s matris i den nya basen <math>\underline{\boldsymbol{f}}=<math>\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2,\boldsymbol{f}_3\}</math><!-- |
| - | {{#NAVCONTENT: | + | |
| - | Svar|Svar till övning | + | -->{{#NAVCONTENT: |
| - | Tips och lösning|Tips och lösning till övning | + | Svar|Svar till övning 17.9| |
| + | Tips och lösning|Tips och lösning till övning 17.9}} | ||
| Rad 75: | Rad 77: | ||
3. Är det rimligt att tänk sig att alla avbildningsmatriser för linjära avbildningar är inverterbara? | 3. Är det rimligt att tänk sig att alla avbildningsmatriser för linjära avbildningar är inverterbara? | ||
| + | |||
| + | 4. Tänk efter vilka av uppgifterna ovan som det går lätt att pröva svaret på. | ||
Nuvarande version
| 16.1 | 16.2 | 16.3 | 16.4 | 16.5 | 16.6 | 16.7 | 16.8 | 16.9 | 16.10 | 16.11 |
Läs textavsnitt 16.2 Matrisframställning
Övningar
17.5. Låt \displaystyle \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\} vara en bas i \displaystyle {\bf R}^2. Bestäm matrisen för den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R}^2\rightarrow:{\bf R}^2, sådan att
Hämtar...
Tips och lösning
17.6. Den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R^3}\rightarrow{\bf R}^3 har i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} matrisen
a) Bestäm bilden \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{r} 2\\-1 \\ 3\end{array}\right) under \displaystyle F. b) Ange urbilden till \displaystyle \boldsymbol{v}=2\boldsymbol{e}_1+5\boldsymbol{e}_2+2\boldsymbol{e}_3 under \displaystyle F.
Tips och lösning
17.7. Bestäm matrisen till den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R^3}\rightarrow{\bf R}^3 som i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} definieras genom
Tips och lösning
17.8. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} vara en bas för \displaystyle V., där dim \displaystyle V=2.
Ange matrisen för den linjära avbildning, \displaystyle F, som byter plats på \displaystyle \boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2 och \displaystyle 2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2.
Bestäm sedan vektorer \displaystyle \boldsymbol{f}_1, \displaystyle \boldsymbol{f}_2 sådan att \displaystyle F(\boldsymbol{f}_1)=\boldsymbol{f}_1 och \displaystyle F(\boldsymbol{f}_2)=-\boldsymbol{f}_2.
Välj \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{f}_2\} som bas. Ange \displaystyle F:s matris i denna bas.
Tips och lösning
17.9. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} vara en högerorienterad ON-bas i rummet och låt
där \displaystyle \boldsymbol{a}=\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2+2\boldsymbol{e}_3.
- Bestäm \displaystyle F:s matris i denna bas.
- Vektorerna
Tips och lösning
Reflektionsuppgifter
1. Finns det linjära avbildningar som inte kan skrivas med hjälp av matriser? Motivera ditt svar med lämplig teori.
2. Beskriv hur avbildningsmatrisen för en linjär avbildning är uppbyggd, både vad gäller storlek och innehåll.
3. Är det rimligt att tänk sig att alla avbildningsmatriser för linjära avbildningar är inverterbara?
4. Tänk efter vilka av uppgifterna ovan som det går lätt att pröva svaret på.
