16.9 Linjära avbildningar och basbyte
SamverkanLinalgLIU
| Rad 3: | Rad 3: | ||
'''Övningar''' | '''Övningar''' | ||
| - | + | 17.31. Den linjära avbildningen <math>F:{\bf R}^2\rightarrow{\bf R}^2</math> har i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\}</math> har matrisen | |
<center><math>A_{\boldsymbol{e}}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{rr} 1& 1\\ -1& 1\end{array}\right). </math></center> | <center><math>A_{\boldsymbol{e}}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{rr} 1& 1\\ -1& 1\end{array}\right). </math></center> | ||
Ange <math>F</math>:s matris <math>A_{\boldsymbol{f}}</math> i basen | Ange <math>F</math>:s matris <math>A_{\boldsymbol{f}}</math> i basen | ||
| Rad 9: | Rad 9: | ||
\boldsymbol{f}_2=-\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2.</math></center> | \boldsymbol{f}_2=-\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2.</math></center> | ||
Ange också sambandet mellan koordinaterna i de båda baserna. | Ange också sambandet mellan koordinaterna i de båda baserna. | ||
| + | |||
{{#NAVCONTENT: | {{#NAVCONTENT: | ||
| - | Svar|Svar till övning | + | Svar|Svar till övning 17.31| |
| - | Tips | + | Tips och lösning|Tips och lösning till övning 17.31}} |
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | + | 17.32. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}</math> var en bas i rummet och <math>F</math> en linjär avbildning med matrisen | |
<center><math>A=\left(\begin{array}{rrr} 2& 0& 1\\ 1& -1& 0\\ 2& 2& 1\end{array}\right). </math></center> | <center><math>A=\left(\begin{array}{rrr} 2& 0& 1\\ 1& -1& 0\\ 2& 2& 1\end{array}\right). </math></center> | ||
i denna bas. Vad är matrisen för <math>F</math> i den bas <math>\underline{\boldsymbol{f}}</math> som ges av | i denna bas. Vad är matrisen för <math>F</math> i den bas <math>\underline{\boldsymbol{f}}</math> som ges av | ||
| Rad 23: | Rad 22: | ||
\boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3,\qquad | \boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3,\qquad | ||
\boldsymbol{f}_3=-\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2.</math></center> | \boldsymbol{f}_3=-\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2.</math></center> | ||
| + | |||
{{#NAVCONTENT: | {{#NAVCONTENT: | ||
| - | Svar|Svar till övning | + | Svar|Svar till övning 17.32| |
| - | Tips | + | Tips och lösning|Tips och lösning till övning 17.32}} |
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | + | 17.33. Avbildningen <math>F</math> har i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> matrisen | |
<center><math>A=\left(\begin{array}{rrr} 2& 0& 1\\ 1& -1& 0\\ 2& 2& 1\end{array}\right). </math></center> | <center><math>A=\left(\begin{array}{rrr} 2& 0& 1\\ 1& -1& 0\\ 2& 2& 1\end{array}\right). </math></center> | ||
Bestäm <math>F</math>:s matris i basen <math>\underline{\boldsymbol{f}}</math> om | Bestäm <math>F</math>:s matris i basen <math>\underline{\boldsymbol{f}}</math> om | ||
| Rad 37: | Rad 34: | ||
\boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3,\qquad | \boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3,\qquad | ||
\boldsymbol{f}_3=\boldsymbol{e}_1.</math></center> | \boldsymbol{f}_3=\boldsymbol{e}_1.</math></center> | ||
| + | |||
{{#NAVCONTENT: | {{#NAVCONTENT: | ||
| - | Svar|Svar till övning | + | Svar|Svar till övning 17.33| |
| - | Tips | + | Tips och lösning|Tips och lösning till övning 17.33}} |
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | + | 17.34. Antag att <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}</math> är en bas i <math>{\bf R}^3</math> och låt den linjära avbildningen | |
<math>F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3</math> definieras genom | <math>F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3</math> definieras genom | ||
<center><math> | <center><math> | ||
| Rad 56: | Rad 51: | ||
\boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2,\qquad | \boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2,\qquad | ||
\boldsymbol{f}_3=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3.</math></center> | \boldsymbol{f}_3=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3.</math></center> | ||
| + | |||
{{#NAVCONTENT: | {{#NAVCONTENT: | ||
| - | Svar|Svar till övning | + | Svar|Svar till övning 17.34| |
| - | Tips | + | Tips och lösning|Tips och lösning till övning 17.34}} |
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | + | 17.35. Visa att matriserna | |
<center><math> | <center><math> | ||
A=\left(\begin{array}{rrr} 0& -1& 0\\ 1& 0& 1\\ 1& 2& 3\end{array}\right)\qquad och\qquad | A=\left(\begin{array}{rrr} 0& -1& 0\\ 1& 0& 1\\ 1& 2& 3\end{array}\right)\qquad och\qquad | ||
B=\left(\begin{array}{rrr} 1& 0& 1\\ 1& 2& 0\\ -1& 0& 3\end{array}\right)</math></center> | B=\left(\begin{array}{rrr} 1& 0& 1\\ 1& 2& 0\\ -1& 0& 3\end{array}\right)</math></center> | ||
ej kan representera samma linjära avbildning <math>F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3</math>. | ej kan representera samma linjära avbildning <math>F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3</math>. | ||
| + | |||
{{#NAVCONTENT: | {{#NAVCONTENT: | ||
| - | Svar|Svar till övning | + | Svar|Svar till övning 17.35| |
| - | Tips | + | Tips och lösning|Tips och lösning till övning 17.35}} |
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | + | ||
Versionen från 31 oktober 2008 kl. 20.33
Läs textavsnitt 16.9 Linjära avbildningar och basbyte
Övningar
17.31. Den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R}^2\rightarrow{\bf R}^2 har i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\} har matrisen
Ange \displaystyle F:s matris \displaystyle A_{\boldsymbol{f}} i basen
Ange också sambandet mellan koordinaterna i de båda baserna.
Hämtar...
17.32. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} var en bas i rummet och \displaystyle F en linjär avbildning med matrisen
i denna bas. Vad är matrisen för \displaystyle F i den bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} som ges av
\boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_2-\boldsymbol{e}_3,\qquad \boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3,\qquad
\boldsymbol{f}_3=-\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2.
17.33. Avbildningen \displaystyle F har i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} matrisen
Bestäm \displaystyle F:s matris i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} om
\boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2,\qquad \boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3,\qquad
\boldsymbol{f}_3=\boldsymbol{e}_1.
17.34. Antag att \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} är en bas i \displaystyle {\bf R}^3 och låt den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3 definieras genom
F(\boldsymbol{e}_1)=\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_3,\qquad F(\boldsymbol{e}_2)=\boldsymbol{e}_1+3\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3\qquad
F(\boldsymbol{e}_3)=2\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3.Bestäm matrisen till \displaystyle F med avseende på basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2,\boldsymbol{f}_3\}, där
\boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_1\qquad \boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2,\qquad
\boldsymbol{f}_3=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3.
17.35. Visa att matriserna
A=\left(\begin{array}{rrr} 0& -1& 0\\ 1& 0& 1\\ 1& 2& 3\end{array}\right)\qquad och\qquad
B=\left(\begin{array}{rrr} 1& 0& 1\\ 1& 2& 0\\ -1& 0& 3\end{array}\right)ej kan representera samma linjära avbildning \displaystyle F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3.
