Warning: jsMath requires JavaScript to process the mathematics on this page.
If your browser supports JavaScript, be sure it is enabled.

16.1 Definition av linjär avbildning

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)

Hoppa till: navigering, sök

Versionen från 8 oktober 2008 kl. 15.00

Läs textavsnitt 16.1 Definition av linjär avbildning Bild:Kap16 1.pdf

Du har nu läst definitionen på linjär avbildning och här kommer några övningar som testar om du har tagit till dig stoffet.

Övningar

1. Låt \displaystyle \boldsymbol{a} vara en fix vektor i rummet. Vilka av följande avbildningar på rummet är linjära?

\displaystyle {\rm a)}\ F(\boldsymbol{u})=\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{a}\qquad{\rm b)}\ F(\boldsymbol{u})=(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}\qquad{\rm c)}\ F(\boldsymbol{u})=(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}.

Svar

Tips 1

Tips 2

Tips 3

Lösning

Lösning till övning 1

Svar

Svar till övning 1

Tips och lösning

Tips och lösning till övning 2

2. Låt \displaystyle \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\} vara en bas i \displaystyle {\bf R}^2. Avgör vilka av följande avbildningar är linjära.

\displaystyle F_1(\boldsymbol{e}_1x_1+\boldsymbol{e}_2x_2)=x_2^2\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2
\displaystyle F_2(\underline{\boldsymbol{e}}X)=\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{c}{x_1+x_2}\\{x_1}\end{array}\right)
\displaystyle F_3(\underline{\boldsymbol{e}}X)=\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{c}{x_1}\\{1}\end{array}\right)

Svar

Tips 1

Tips 2

Tips 3

Lösning

Lösning till övning 2

Svar

Svar till övning 2

Tips och lösning

Tips och lösning till övning 2

3. Låt \displaystyle G vara en avbildning på rummet som i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} = \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3\} ges av

\displaystyle G(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x_1x_2\\ x_2^2\\ x_2+x_3\end{pmatrix}\,\mbox{.}

Undersök om \displaystyle G är linjär.

Svar

Tips 1

Tips 2

Tips 3

Lösning

Lösning till övning 3

Svar

Svar till övning 3

Tips och lösning

Tips och lösning till övning 3

4. Låt \displaystyle F vara en avbildning på rummet som i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} = \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3\} ges av

\displaystyle F(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}Y = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x_1-x_2\\ 2x_2+3x_3\\ 2x_1-x_3\end{pmatrix}\mbox{.}

a) Undersök om \displaystyle F är linjär. b) Skriv avbildningen som en matrisprodukt, \displaystyle Y=AX, där \displaystyle A inte beror på \displaystyle X. c) Bestäm också basvektorernas bilder och visa hur dessa kan avläsas ur \displaystyle A.