16.3 Projektion och spegling

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
(Fixade till länkar till avsnitt 16.3 och 16.4)
Nuvarande version (21 oktober 2011 kl. 12.06) (redigera) (ogör)
 
(30 mellanliggande versioner visas inte.)
Rad 1: Rad 1:
-
Läs textavsnitt [http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/img_auth.php/3/33/Kap16_3.pdf 16.3 Projektion och Spegling] och [http://wiki.math.se/wiki/samverkan/linalg-LIU/img_auth.php/3/33/Kap16_4.pdf 16.4 Plan rotation].
+
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 +
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 +
{{Mall:Ej vald flik|[[16.1 Definition av linjär avbildning|16.1]]}}
 +
{{Mall:Ej vald flik|[[16.2 Matrisframställning|16.2]]}}
 +
{{Mall:Vald flik|[[16.3 Projektion och spegling|16.3]]}}
 +
{{Mall:Ej vald flik|[[16.4 Plan rotation|16.4]]}}
 +
{{Mall:Ej vald flik|[[16.5 Rotation i rummet|16.5]]}}
 +
{{Mall:Ej vald flik|[[16.6 Sammansatta linjära avbildningar|16.6]]}}
 +
{{Mall:Ej vald flik|[[16.7 Nollrum, Värderum och dimensionssatsen|16.7]]}}
 +
{{Mall:Ej vald flik|[[16.8 Basbyte|16.8]]}}
 +
{{Mall:Ej vald flik|[[16.9 Linjära avbildningar och basbyte|16.9]]}}
 +
{{Mall:Ej vald flik|[[16.10 Projektioner och speglingar med basbyte|16.10]]}}
 +
{{Mall:Ej vald flik|[[16.11 Rotationer|16.11]]}}
 +
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
 +
|}
 +
 
 +
 
 +
Läs textavsnitt [http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/img_auth.php/3/33/Kap16_3.pdf 16.3 Projektion och Spegling]
 +
 
 +
 
 +
'''''Innan Du börjar arbeta med detta moment så kan Du visualisera ortogonal projektion på ett plan genom att klicka på bilden.'''''
 +
 
 +
<imagemap>
 +
Bild:Introprojektion.png|450px|alt=Alt text
 +
default [http://webcourses.itn.liu.se/webkurs/introprojektion.jnlp Du kan visualisera ortogonal projektion på ett plan]
 +
</imagemap>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
'''''Du kan visualisera ortogonal projektion på ett plan genom att klicka på bilden.'''''
 +
 
 +
<imagemap>
 +
Bild:OrtProj.png|450px|alt=Alt text
 +
default [http://webcourses.itn.liu.se/webkurs/OrtProj.jnlp Du kan visualisera ortogonal projektion på ett plan]
 +
</imagemap>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
'''''Du kan visualisera spegling i ett plan genom att klicka på bilden.'''''
 +
 
 +
<imagemap>
 +
Bild:Spegling.png|450px|alt=Alt text
 +
default [http://webcourses.itn.liu.se/webkurs/Spegling.jnlp Du kan visualisera spegling i ett plan]
 +
</imagemap>
 +
 
 +
 
'''Övningar'''
'''Övningar'''
-
1. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\}</math> vara en ON-bas i planet. Bestäm matrisen i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> för följande linjära avbildningar:
+
17.10. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\}</math> vara en ON-bas i planet. Bestäm matrisen i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> för följande linjära avbildningar:
# spegling i <math>x_1</math>-axeln.
# spegling i <math>x_1</math>-axeln.
# ortogonal projektion på linjen <math>x_1+x_2=0</math>.
# ortogonal projektion på linjen <math>x_1+x_2=0</math>.
# spegling i linjen <math>x_1+x_2=0</math>.
# spegling i linjen <math>x_1+x_2=0</math>.
-
# ortogonal projektion på linjen <math>4x_1+3x_2=0</math>.
+
# ortogonal projektion på linjen <math>4x_1+3x_2=0</math>.<!--
-
{{#NAVCONTENT:
+
-
Svar|Svar till övning 1|
+
-
Tips 1|Tips 1 till övning 1|
+
-
Tips 2|Tips 2 till övning 1|
+
-
Tips 3|Tips 3 till övning 1|
+
-
Lösning|Lösning till övning 1}}
+
-
2. Låt <math>G</math> vara ortogonal projektion på normalen till planet <math>x_1+x_2+x_3=0</math> i <math>{\bf E}^3</math>.
+
-->{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till övning 17.10|
 +
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 17.10}}
 +
 
 +
 
 +
17.11. Låt <math>G</math> vara ortogonal projektion på normalen till planet <math>x_1+x_2+x_3=0</math> i <math>{\bf E}^3</math>.
Ange <math>G</math>:s matris i standardbasen.
Ange <math>G</math>:s matris i standardbasen.
-
{{#NAVCONTENT:
+
(Jämför med Övning 13.18a och Exempel 16.19)
-
Svar|Svar till övning 2|
+
<!--
-
Tips 1|Tips 1 till övning 2|
+
-
Tips 2|Tips 2 till övning 2|
+
-
Tips 3|Tips 3 till övning 2|
+
-
Lösning|Lösning till övning 2}}
+
-
3. Låt <math>F</math> vara ortogonal projektion på planet <math>x_1+x_2+x_3=0</math> i <math>{\bf E}^3</math>.
+
-->{{#NAVCONTENT:
-
Ange <math>F</math>:s matris i standardbasen.
+
Svar|Svar till övning 17.11|
-
{{#NAVCONTENT:
+
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 17.11}}
-
Svar|Svar till övning 3|
+
-
Tips 1|Tips 1 till övning 3|
+
-
Tips 2|Tips 2 till övning 3|
+
-
Tips 3|Tips 3 till övning 3|
+
-
Lösning|Lösning till övning 3}}
+
-
4. Låt <math>F</math> vara spegling i planet <math>x_1+x_2+x_3=0</math> i <math>{\bf E}^3</math>.
+
 
 +
17.12. Låt <math>F</math> vara ortogonal projektion på planet <math>x_1+x_2+x_3=0</math> i <math>{\bf E}^3</math>.
Ange <math>F</math>:s matris i standardbasen.
Ange <math>F</math>:s matris i standardbasen.
-
{{#NAVCONTENT:
+
(Jämför med Övning 13.18b och Exempel 16.14)
-
Svar|Svar till övning 4|
+
<!--
-
Tips 1|Tips 1 till övning 4|
+
 
-
Tips 2|Tips 2 till övning 4|
+
-->{{#NAVCONTENT:
-
Tips 3|Tips 3 till övning 4|
+
Svar|Svar till övning 17.12|
-
Lösning|Lösning till övning 4}}
+
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 17.12}}
 +
 
 +
 
 +
17.13. Låt <math>F</math> vara spegling i planet <math>x_1+x_2+x_3=0</math> i <math>{\bf E}^3</math>.
 +
Ange <math>F</math>:s matris i standardbasen.<!--
 +
 
 +
-->{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till övning 17.13|
 +
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 17.13}}
 +
 
 +
 
 +
17.14. Låt <math>W=[(2,-2,1)^t,(2,1,-2)^t]</math> i <math>{\bf E}^3</math>. Bestäm matrisen för speglingen <math>S</math> i <math>W</math>.<!--
 +
 
 +
-->{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till övning 17.14|
 +
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 17.14}}
 +
 
 +
 
 +
17.15. Låt <math>W=[(1,1,1,1)^t,(1,-1,1,-1)^t]</math> i <math>{\bf E}^4</math>. Bestäm matrisen för den ortogonala projektionen <math>F</math> på <math>W</math>, dvs projektion på <math>W</math> parallellt med <math>W^{\perp}</math>.<!--
 +
 
 +
-->{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till övning 17.15|
 +
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 17.15}}
 +
 
 +
 
 +
17.16. Låt <math>W=\{\boldsymbol{x}\in\bf{ E}^4:\ x_1+x_2+x_3+x_4=0\}</math>. Bestäm matrisen för den ortogonala projektionen <math>P</math> på <math>W</math>.<!--
 +
 
 +
-->{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till övning 17.16|
 +
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 17.16}}
 +
 
 +
 
 +
'''''Du kan bestämma matrisen för en ortogonal projektion genom att klicka på bilden.'''''
 +
 
 +
<imagemap>
 +
Bild:MatrixProj.png|450px|alt=Alt text
 +
default [http://webcourses.itn.liu.se/webkurs/MatrixProj.jnlp Du kan bestämma matrisen för en projektion]
 +
</imagemap>
 +
 
 +
 
 +
'''''Du kan bestämma matrisen för en spegling genom att klicka på bilden.'''''
 +
 
 +
<imagemap>
 +
Bild:MatrixSpegl.png|450px|alt=Alt text
 +
default [http://webcourses.itn.liu.se/webkurs/MatrixSpegl.jnlp Du kan bestämma matrisen för en spegling]
 +
</imagemap>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
'''Reflektionsuppgifter'''
 +
 
 +
1. Tänk igenom hur du kan pröva de olika svaren du fått fram på uppgifterna.
 +
 
 +
2. Genomför ngn/några prövningar
 +
 
 +
3. Försök att skriva ner eller förklara för en kamrat de olika principerna du använt för att ta fram avbildningarnas matriser.

Nuvarande version

       16.1          16.2          16.3          16.4          16.5          16.6          16.7          16.8          16.9          16.10          16.11      


Läs textavsnitt 16.3 Projektion och Spegling


Innan Du börjar arbeta med detta moment så kan Du visualisera ortogonal projektion på ett plan genom att klicka på bilden.

alt=Alt textBildinformation


Du kan visualisera ortogonal projektion på ett plan genom att klicka på bilden.

alt=Alt textBildinformation


Du kan visualisera spegling i ett plan genom att klicka på bilden.

alt=Alt textBildinformation


Övningar

17.10. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\} vara en ON-bas i planet. Bestäm matrisen i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} för följande linjära avbildningar:

  1. spegling i \displaystyle x_1-axeln.
  2. ortogonal projektion på linjen \displaystyle x_1+x_2=0.
  3. spegling i linjen \displaystyle x_1+x_2=0.
  4. ortogonal projektion på linjen \displaystyle 4x_1+3x_2=0.
Svar
Svar till övning 17.10
Tips och lösning
Tips och lösning till övning 17.10


17.11. Låt \displaystyle G vara ortogonal projektion på normalen till planet \displaystyle x_1+x_2+x_3=0 i \displaystyle {\bf E}^3. Ange \displaystyle G:s matris i standardbasen. (Jämför med Övning 13.18a och Exempel 16.19)


Svar
Svar till övning 17.11
Tips och lösning
Tips och lösning till övning 17.11


17.12. Låt \displaystyle F vara ortogonal projektion på planet \displaystyle x_1+x_2+x_3=0 i \displaystyle {\bf E}^3. Ange \displaystyle F:s matris i standardbasen. (Jämför med Övning 13.18b och Exempel 16.14)


Svar
Svar till övning 17.12
Tips och lösning
Tips och lösning till övning 17.12


17.13. Låt \displaystyle F vara spegling i planet \displaystyle x_1+x_2+x_3=0 i \displaystyle {\bf E}^3. Ange \displaystyle F:s matris i standardbasen.

Svar
Svar till övning 17.13
Tips och lösning
Tips och lösning till övning 17.13


17.14. Låt \displaystyle W=[(2,-2,1)^t,(2,1,-2)^t] i \displaystyle {\bf E}^3. Bestäm matrisen för speglingen \displaystyle S i \displaystyle W.

Svar
Svar till övning 17.14
Tips och lösning
Tips och lösning till övning 17.14


17.15. Låt \displaystyle W=[(1,1,1,1)^t,(1,-1,1,-1)^t] i \displaystyle {\bf E}^4. Bestäm matrisen för den ortogonala projektionen \displaystyle F på \displaystyle W, dvs projektion på \displaystyle W parallellt med \displaystyle W^{\perp}.

Svar
Svar till övning 17.15
Tips och lösning
Tips och lösning till övning 17.15


17.16. Låt \displaystyle W=\{\boldsymbol{x}\in\bf{ E}^4:\ x_1+x_2+x_3+x_4=0\}. Bestäm matrisen för den ortogonala projektionen \displaystyle P på \displaystyle W.

Svar
Svar till övning 17.16
Tips och lösning
Tips och lösning till övning 17.16


Du kan bestämma matrisen för en ortogonal projektion genom att klicka på bilden.

alt=Alt textBildinformation


Du kan bestämma matrisen för en spegling genom att klicka på bilden.

alt=Alt textBildinformation


Reflektionsuppgifter

1. Tänk igenom hur du kan pröva de olika svaren du fått fram på uppgifterna.

2. Genomför ngn/några prövningar

3. Försök att skriva ner eller förklara för en kamrat de olika principerna du använt för att ta fram avbildningarnas matriser.

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/16.3_Projektion_och_spegling