2.3 Bas
SamverkanLinalgLIU
| (8 mellanliggande versioner visas inte.) | |||
| Rad 13: | Rad 13: | ||
| + | __TOC__ | ||
<div class="ovning"> | <div class="ovning"> | ||
| - | ===Övning 3. | + | ===Övning 3.14=== |
| - | + | Visa att vektorn <math>\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\-7\\1\end{pmatrix}</math> ligger i samma plan som vektorerna | |
| - | + | <math>\boldsymbol{v}_1=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}</math> och | |
| + | <math>\boldsymbol{v}_2=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}</math>. Bestäm koordinaterna för <math>\boldsymbol{u}</math> i basen <math>\{\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2}\}</math>. | ||
</div>{{#NAVCONTENT: | </div>{{#NAVCONTENT: | ||
| - | Svar|Svar till övning 3. | + | Svar|Svar till övning 3.14| |
| - | Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.18}} | + | Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.14}} |
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | ===Övning 3.15=== | ||
| + | Visa att | ||
| + | <center><math> | ||
| + | \left\{\begin{array}{lcl}\boldsymbol{f}_1&=&-\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2\\ \boldsymbol{f}_2&=&3\boldsymbol{e}_1+4\boldsymbol{e}_2\end{array}\right. | ||
| + | </math></center> | ||
| + | är en bas och bestäm koordinaterna för <math>\boldsymbol{u}=4\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2</math> i basen | ||
| + | <math>\underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_{1},\boldsymbol{f}_{2}\}</math>. | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT: | ||
| + | Svar|Svar till övning 3.15| | ||
| + | Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.15}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | ===Övning 3.16=== | ||
| + | Visa att | ||
| + | <center><math> | ||
| + | \left\{\begin{array}{lcl} | ||
| + | \boldsymbol{f}_1&=&\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2\\ | ||
| + | \boldsymbol{f}_2&=&\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2-\boldsymbol{e}_3\\ | ||
| + | \boldsymbol{f}_3&=&\boldsymbol{e}_2-\boldsymbol{e}_3\end{array}\right. | ||
| + | </math></center> | ||
| + | är en bas och bestäm koordinaterna för <math>\boldsymbol{u}=2\boldsymbol{e}_1+3\boldsymbol{e}_2-2\boldsymbol{e}_3</math> i basen | ||
| + | <math>\underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_{1},\boldsymbol{f}_{2},\boldsymbol{f}_3\}</math>. | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT: | ||
| + | Svar|Svar till övning 3.16| | ||
| + | Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.16}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | ===Övning 3.17=== | ||
| + | Visa att | ||
| + | <center><math> | ||
| + | \left\{\begin{array}{lcl} | ||
| + | \boldsymbol{f}_1&=&\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3\\ | ||
| + | \boldsymbol{f}_2&=&-\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3\\ | ||
| + | \boldsymbol{f}_3&=&\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_3\end{array}\right. | ||
| + | </math></center> | ||
| + | är en bas för rummet. Vilka vektorer har samma koordinater i de båda baserna? | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT: | ||
| + | Svar|Svar till övning 3.17| | ||
| + | Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.17}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | ===Övning 3.18=== | ||
| + | Låt <math>\boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2</math> och | ||
| + | <math>\boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2-\boldsymbol{e}_3</math> | ||
| + | som i Övning 3.16. | ||
| + | |||
| + | a) Ange alla vektorer <math>\boldsymbol{f}_3</math> så att | ||
| + | <math>\boldsymbol{f}_1</math>, <math>\boldsymbol{f}_2</math> och | ||
| + | <math>\boldsymbol{f}_3</math> blir en ny bas för rummet. | ||
| + | |||
| + | b) Av alla vektorer <math>\boldsymbol{f}_3</math> i a), hur ska <math>\boldsymbol{f}_3</math> väljas så att vektorn <math>\boldsymbol{u}=\boldsymbol{e}_1-3\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3</math> har koordinaterna <math>\boldsymbol{u}=2\boldsymbol{f}_1+3\boldsymbol{f}_2-2\boldsymbol{f}_3</math> i den nya basen? | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till övning 3.18|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till övning 3.18a|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till övning 3.18b}} | ||
Nuvarande version
| 2.1 | 2.2 | 2.3 |
Läs textavsnitt 2.3 Bas.
Du har nu läst definitionen på bas och här kommer några övningar som testar om du har tagit till dig stoffet.
Innehåll |
Övning 3.14
Visa att vektorn \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\-7\\1\end{pmatrix} ligger i samma plan som vektorerna \displaystyle \boldsymbol{v}_1=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{v}_2=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}. Bestäm koordinaterna för \displaystyle \boldsymbol{u} i basen \displaystyle \{\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2}\}.
Hämtar...
Övning 3.15
Visa att
\left\{\begin{array}{lcl}\boldsymbol{f}_1&=&-\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2\\ \boldsymbol{f}_2&=&3\boldsymbol{e}_1+4\boldsymbol{e}_2\end{array}\right.
är en bas och bestäm koordinaterna för \displaystyle \boldsymbol{u}=4\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2 i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_{1},\boldsymbol{f}_{2}\}.
Övning 3.16
Visa att
\left\{\begin{array}{lcl} \boldsymbol{f}_1&=&\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2\\ \boldsymbol{f}_2&=&\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2-\boldsymbol{e}_3\\ \boldsymbol{f}_3&=&\boldsymbol{e}_2-\boldsymbol{e}_3\end{array}\right.
är en bas och bestäm koordinaterna för \displaystyle \boldsymbol{u}=2\boldsymbol{e}_1+3\boldsymbol{e}_2-2\boldsymbol{e}_3 i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_{1},\boldsymbol{f}_{2},\boldsymbol{f}_3\}.
Övning 3.17
Visa att
\left\{\begin{array}{lcl} \boldsymbol{f}_1&=&\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3\\ \boldsymbol{f}_2&=&-\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3\\ \boldsymbol{f}_3&=&\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_3\end{array}\right.
är en bas för rummet. Vilka vektorer har samma koordinater i de båda baserna?
Övning 3.18
Låt \displaystyle \boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2 och \displaystyle \boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2-\boldsymbol{e}_3 som i Övning 3.16.
a) Ange alla vektorer \displaystyle \boldsymbol{f}_3 så att \displaystyle \boldsymbol{f}_1, \displaystyle \boldsymbol{f}_2 och \displaystyle \boldsymbol{f}_3 blir en ny bas för rummet.
b) Av alla vektorer \displaystyle \boldsymbol{f}_3 i a), hur ska \displaystyle \boldsymbol{f}_3 väljas så att vektorn \displaystyle \boldsymbol{u}=\boldsymbol{e}_1-3\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3 har koordinaterna \displaystyle \boldsymbol{u}=2\boldsymbol{f}_1+3\boldsymbol{f}_2-2\boldsymbol{f}_3 i den nya basen?
