16. Linjära avbildningar
SamverkanLinalgLIU
| Rad 24: | Rad 24: | ||
| - | |||
| - | |||
| - | === Linjära avbildningar och basbyte === | ||
| - | |||
| - | Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning [[Bild:Kap16_9.pdf||center]] | ||
| - | |||
| - | '''Övningar''' | ||
| - | |||
| - | 1. Den linjära avbildningen <math>F:{\bf R}^2\rightarrow{\bf R}^2</math> har i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\}</math> har matrisen | ||
| - | <center><math>A_{\boldsymbol{e}}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{rr} 1& 1\\ -1& 1\end{array}\right). </math></center> | ||
| - | Ange <math>F</math>:s matris <math>A_{\boldsymbol{f}}</math> i basen | ||
| - | <center><math>\boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2,\qquad | ||
| - | \boldsymbol{f}_2=-\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2.</math></center> | ||
| - | Ange också sambandet mellan koordinaterna i de båda baserna. | ||
| - | {{#NAVCONTENT: | ||
| - | Svar|Svar till övning 5| | ||
| - | Tips 1|Tips 1 till övning 17.21| | ||
| - | Tips 2|Tips 2 till övning 17.21| | ||
| - | Tips 3|Tips 3 till övning 17.21| | ||
| - | Lösning|Lösning till övning 17.21}} | ||
| - | |||
| - | 2. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}</math> var en bas i rummet och <math>F</math> en linjär avbildning med matrisen | ||
| - | <center><math>A=\left(\begin{array}{rrr} 2& 0& 1\\ 1& -1& 0\\ 2& 2& 1\end{array}\right). </math></center> | ||
| - | i denna bas. Vad är matrisen för <math>F</math> i den bas <math>\underline{\boldsymbol{f}}</math> som ges av | ||
| - | <center><math> | ||
| - | \boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_2-\boldsymbol{e}_3,\qquad | ||
| - | \boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3,\qquad | ||
| - | \boldsymbol{f}_3=-\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2.</math></center> | ||
| - | {{#NAVCONTENT: | ||
| - | Svar|Svar till övning 5| | ||
| - | Tips 1|Tips 1 till övning 17.21| | ||
| - | Tips 2|Tips 2 till övning 17.21| | ||
| - | Tips 3|Tips 3 till övning 17.21| | ||
| - | Lösning|Lösning till övning 17.21}} | ||
| - | |||
| - | 3. Avbildningen <math>F</math> har i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> matrisen | ||
| - | <center><math>A=\left(\begin{array}{rrr} 2& 0& 1\\ 1& -1& 0\\ 2& 2& 1\end{array}\right). </math></center> | ||
| - | Bestäm <math>F</math>:s matris i basen <math>\underline{\boldsymbol{f}}</math> om | ||
| - | <center><math> | ||
| - | \boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2,\qquad | ||
| - | \boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3,\qquad | ||
| - | \boldsymbol{f}_3=\boldsymbol{e}_1.</math></center> | ||
| - | {{#NAVCONTENT: | ||
| - | Svar|Svar till övning 5| | ||
| - | Tips 1|Tips 1 till övning 17.21| | ||
| - | Tips 2|Tips 2 till övning 17.21| | ||
| - | Tips 3|Tips 3 till övning 17.21| | ||
| - | Lösning|Lösning till övning 17.21}} | ||
| - | |||
| - | 4. Antag att <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}</math> är en bas i <math>{\bf R}^3</math> och låt den linjära avbildningen | ||
| - | <math>F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3</math> definieras genom | ||
| - | <center><math> | ||
| - | F(\boldsymbol{e}_1)=\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_3,\qquad | ||
| - | F(\boldsymbol{e}_2)=\boldsymbol{e}_1+3\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3\qquad | ||
| - | F(\boldsymbol{e}_3)=2\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3.</math></center> | ||
| - | Bestäm matrisen till <math>F</math> med avseende på basen | ||
| - | <math>\underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2,\boldsymbol{f}_3\}</math>, där | ||
| - | <center><math> | ||
| - | \boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_1\qquad | ||
| - | \boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2,\qquad | ||
| - | \boldsymbol{f}_3=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3.</math></center> | ||
| - | {{#NAVCONTENT: | ||
| - | Svar|Svar till övning 5| | ||
| - | Tips 1|Tips 1 till övning 17.21| | ||
| - | Tips 2|Tips 2 till övning 17.21| | ||
| - | Tips 3|Tips 3 till övning 17.21| | ||
| - | Lösning|Lösning till övning 17.21}} | ||
| - | |||
| - | 5. Visa att matriserna | ||
| - | <center><math> | ||
| - | A=\left(\begin{array}{rrr} 0& -1& 0\\ 1& 0& 1\\ 1& 2& 3\end{array}\right)\qquad och\qquad | ||
| - | B=\left(\begin{array}{rrr} 1& 0& 1\\ 1& 2& 0\\ -1& 0& 3\end{array}\right)</math></center> | ||
| - | ej kan representera samma linjära avbildning <math>F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3</math>. | ||
| - | {{#NAVCONTENT: | ||
| - | Svar|Svar till övning 5| | ||
| - | Tips 1|Tips 1 till övning 17.21| | ||
| - | Tips 2|Tips 2 till övning 17.21| | ||
| - | Tips 3|Tips 3 till övning 17.21| | ||
| - | Lösning|Lösning till övning 17.21}} | ||
Versionen från 15 augusti 2008 kl. 13.59
16.1 Definition av linjär avbildning
16.6 Sammansatta linjära avbildningar
16.7 Nollrum, Värderum och dimensionssatsen
16.9 Linjära avbildningar och basbyte
16.10 Projektioner och speglingar med basbyte
Projektioner och speglingar med basbyte
Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning Bild:Kap16 10.pdf
Övningar
1. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\} vara en ON-bas i planet. Inför en ny bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2\} genom
\left\{\begin{array}{lcl}\boldsymbol{f}_1&=&\frac{1}{\sqrt5}(\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2)\\ \boldsymbol{f}_2&=&\frac{1}{\sqrt5}(2\boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2)\end{array}\right.
Låt \displaystyle F vara ortogonal projektion på linjen \displaystyle x_1+2x_2=0. Ange \displaystyle F:s matris i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} och beräkna med hjälp av bassambandet \displaystyle F:s matris i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}.
Hämtar...2. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\} vara en ON-bas i planet. Inför en ny bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2\} genom
\left\{\begin{array}{lcl}\boldsymbol{f}_1&=&\frac{1}{\sqrt5}(\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2)\\ \boldsymbol{f}_2&=&\frac{1}{\sqrt5}(2\boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2)\end{array}\right.
Låt \displaystyle F vara spegling i linjen \displaystyle x_1+2x_2=0. Ange \displaystyle F:s matris i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} och beräkna med hjälp av bassambandet \displaystyle F:s matris i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}.
3. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} vara en ON-bas i rummet och låt \displaystyle F vara en ortogonal projektion på planet \displaystyle x_1+x_2+x_3=0. Välj en lämplig ny bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} och ange \displaystyle F:s matris i denna. Beräkna med hjälp av bassambanden matrisen i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}.
Rotationer
Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning Bild:Kap16 11.pdf
Övningar
1. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} vara en höger ON-bas i rummet och \displaystyle F rotation \displaystyle 2\pi/3 i positiv led runt
\displaystyle \boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3.
Beräkna avbildningens matris i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}.
