16. Linjära avbildningar
SamverkanLinalgLIU
| Rad 24: | Rad 24: | ||
| - | |||
| - | |||
| - | |||
| - | === Sammansatta linjära avbildningar === | ||
| - | |||
| - | Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning [[Bild:Kap16_6.pdf||center]] | ||
| - | |||
| - | '''Övningar''' | ||
| - | |||
| - | 1. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> vara en bas för <math>V</math>, där dim <math> V=2</math>. | ||
| - | Antag att <math>F:V\rightarrow V</math> är en linjär avbildning som uppfyller | ||
| - | <center><math>\left\{\begin{array}{lcr}F(\boldsymbol{e}_1)&=&\frac{1}{\sqrt2}(\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2)\\ F(\boldsymbol{e}_2)&=&\frac{1}{\sqrt2}(-\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2)\end{array}\right.</math></center> | ||
| - | Bestäm matrisen för <math>F^2</math> i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math>. | ||
| - | {{#NAVCONTENT: | ||
| - | Svar|Svar till övning 3| | ||
| - | Tips 1|Tips 1 till övning 17.21| | ||
| - | Tips 2|Tips 2 till övning 17.21| | ||
| - | Tips 3|Tips 3 till övning 17.21| | ||
| - | Lösning|Lösning till övning 17.21}} | ||
Versionen från 15 augusti 2008 kl. 10.30
16.1 Definition av linjär avbildning
16.6 Sammansatta linjära avbildningar
16.7 Nollrum, Värderum och dimensionssatsen
16.9 Linjära avbildningar och basbyte
16.10 Projektioner och speglingar med basbyte
Innehåll |
Nollrum, Värderum och dimensionssatsen
Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning Bild:Kap16 7.pdf
Övningar
1. Låt \displaystyle F vara en avbildning på rummet som i basen \displaystyle \boldsymbol{e} ges av matrisen
Bestäm \displaystyle N(F) och \displaystyle V(F). Visa \displaystyle N(F)\cap V(F)=\boldsymbol{0}. Hur avbildas vektorerna i och \displaystyle V(F)?
Hämtar...2. Avbildningen \displaystyle F på rummet ges i ON-basen \displaystyle \boldsymbol{e} av matrisen
och \displaystyle G är ortogonal projektion på linjen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}[(1,1,1)]^t. Bestäm Visa \displaystyle V(F)\cap N(G).
3. Avbildningen \displaystyle F på rummet ges i ON-basen \displaystyle \boldsymbol{e} av matrisen
Bestäm baser för \displaystyle N(F), \displaystyle V(F), \displaystyle N(F)\cap V(F), \displaystyle N(F^2) och \displaystyle V(F^2).
4. Givet en ON-bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} i \displaystyle {\bf E}^3. I denna bas ges avbildningen \displaystyle F av matrisen
Inför en ny bas bestående av vektorer ur \displaystyle N(F) och \displaystyle V(F). Ange sambandet för \displaystyle F i den nya basen. Tolka \displaystyle F geometriskt.
5. Låt \displaystyle M_{22} vara vektorrummet av alla \displaystyle 2\times matriser. Definiera avbildningen \displaystyle F genom
- Visa att \displaystyle F är en linjär avbildning på \displaystyle M_{22} .
- Bestäm dim \displaystyle N(F) samt en bas i \displaystyle N(F)
6. Konstruera en matris som representerar en linjär avbildning \displaystyle F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3 med
och
7. Den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3 ges i en given bas av matrisen
Ange alla reella tal \displaystyle a sådana att dim \displaystyle V(F)=1 och ange i så fall en bas för \displaystyle V(F).
8. Den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3 ges i en given bas av matrisen
Ange alla reella tal \displaystyle a sådana att \displaystyle N(F)\cap V(F)\neq\emptyset.
9. Bestäm matrisen till den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3 som i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} avbildar de tre vektorerna \displaystyle (1,2,1)^t, \displaystyle (1,1,-1)^t och \displaystyle (-1,0,1)^t på \displaystyle (1,3,1)^t, \displaystyle (3,1,2)^t resp. \displaystyle (5,-1,3)^t. Bestäm också \displaystyle V(F).
Basbyte
Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning Bild:Kap16 8.pdf
Övningar
1. Givet två baser \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} och \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2,\boldsymbol{f}_3\}. Ange följande bassamband
\boldsymbol{f}_1&=&\boldsymbol{e}_1&+&\boldsymbol{e}_2&+&\boldsymbol{e}_3\\ \boldsymbol{f}_2&=& & &\boldsymbol{e}_2&-&\boldsymbol{e}_3\\
\boldsymbol{f}_3&=&\boldsymbol{e}_1&+&\boldsymbol{e}_2&&\end{array}\right.på matrisform. Ange också det omvända bassambandet samt koordinatsambanden.
2. Givet en bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\} i planet. Vi inför en ny bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2\} genom att sätta \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\underline{\boldsymbol{e}}T, där \displaystyle T=\left(\begin{array}{rr} 2& 3\\ 1& 2\end{array}\right). En linje har ekvationen \displaystyle x_1+7x_2=0 i den gamla basen. Vad är dess ekvationen i den nya basen?
Linjära avbildningar och basbyte
Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning Bild:Kap16 9.pdf
Övningar
1. Den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R}^2\rightarrow{\bf R}^2 har i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\} har matrisen
Ange \displaystyle F:s matris \displaystyle A_{\boldsymbol{f}} i basen
Ange också sambandet mellan koordinaterna i de båda baserna.
2. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} var en bas i rummet och \displaystyle F en linjär avbildning med matrisen
i denna bas. Vad är matrisen för \displaystyle F i den bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} som ges av
\boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_2-\boldsymbol{e}_3,\qquad \boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3,\qquad
\boldsymbol{f}_3=-\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2.
3. Avbildningen \displaystyle F har i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} matrisen
Bestäm \displaystyle F:s matris i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} om
\boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2,\qquad \boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3,\qquad
\boldsymbol{f}_3=\boldsymbol{e}_1.
4. Antag att \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} är en bas i \displaystyle {\bf R}^3 och låt den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3 definieras genom
F(\boldsymbol{e}_1)=\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_3,\qquad F(\boldsymbol{e}_2)=\boldsymbol{e}_1+3\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3\qquad
F(\boldsymbol{e}_3)=2\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3.Bestäm matrisen till \displaystyle F med avseende på basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2,\boldsymbol{f}_3\}, där
\boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_1\qquad \boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2,\qquad
\boldsymbol{f}_3=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3.
5. Visa att matriserna
A=\left(\begin{array}{rrr} 0& -1& 0\\ 1& 0& 1\\ 1& 2& 3\end{array}\right)\qquad och\qquad
B=\left(\begin{array}{rrr} 1& 0& 1\\ 1& 2& 0\\ -1& 0& 3\end{array}\right)ej kan representera samma linjära avbildning \displaystyle F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3.
Projektioner och speglingar med basbyte
Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning Bild:Kap16 10.pdf
Övningar
1. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\} vara en ON-bas i planet. Inför en ny bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2\} genom
\left\{\begin{array}{lcl}\boldsymbol{f}_1&=&\frac{1}{\sqrt5}(\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2)\\ \boldsymbol{f}_2&=&\frac{1}{\sqrt5}(2\boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2)\end{array}\right.
Låt \displaystyle F vara ortogonal projektion på linjen \displaystyle x_1+2x_2=0. Ange \displaystyle F:s matris i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} och beräkna med hjälp av bassambandet \displaystyle F:s matris i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}.
2. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\} vara en ON-bas i planet. Inför en ny bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2\} genom
\left\{\begin{array}{lcl}\boldsymbol{f}_1&=&\frac{1}{\sqrt5}(\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2)\\ \boldsymbol{f}_2&=&\frac{1}{\sqrt5}(2\boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2)\end{array}\right.
Låt \displaystyle F vara spegling i linjen \displaystyle x_1+2x_2=0. Ange \displaystyle F:s matris i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} och beräkna med hjälp av bassambandet \displaystyle F:s matris i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}.
3. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} vara en ON-bas i rummet och låt \displaystyle F vara en ortogonal projektion på planet \displaystyle x_1+x_2+x_3=0. Välj en lämplig ny bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} och ange \displaystyle F:s matris i denna. Beräkna med hjälp av bassambanden matrisen i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}.
Rotationer
Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning Bild:Kap16 11.pdf
Övningar
1. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} vara en höger ON-bas i rummet och \displaystyle F rotation \displaystyle 2\pi/3 i positiv led runt
\displaystyle \boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3.
Beräkna avbildningens matris i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}.
