16. Linjära avbildningar

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Nuvarande version (4 oktober 2010 kl. 12.18) (redigera) (ogör)
 
(14 mellanliggande versioner visas inte.)
Rad 1: Rad 1:
 +
I det här kapitlet ...
 +
 +
 +
[[16.1 Definition av linjär avbildning]]
[[16.1 Definition av linjär avbildning]]
Rad 20: Rad 24:
[[16.11 Rotationer]]
[[16.11 Rotationer]]
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
-
=== Nollrum, Värderum och dimensionssatsen ===
 
- 
-
Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning [[Bild:Kap16_7.pdf||center]]
 
- 
-
'''Övningar'''
 
- 
- 
-
1. Låt <math>F</math> vara en avbildning på rummet som i basen <math>\boldsymbol{e}</math> ges av matrisen
 
-
<center><math> A=\left(\begin{array}{rrr} 3& -1& -1\\ 2& 0& -1\\ 4& -2& -1\end{array}\right).</math></center>
 
-
Bestäm <math>N(F)</math> och <math>V(F)</math>. Visa <math>N(F)\cap V(F)=\boldsymbol{0}</math>. Hur avbildas vektorerna i och <math>V(F)</math>?
 
-
{{#NAVCONTENT:
 
-
Svar|Svar till övning 5|
 
-
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
 
-
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
 
-
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
 
-
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
 
- 
-
2. Avbildningen <math>F</math> på rummet ges i ON-basen <math>\boldsymbol{e}</math> av matrisen
 
-
<center><math>\left(\begin{array}{rrr} 2& -1& -1\\ 1& 0& -1\\ 1& -1&0 \end{array}\right)</math></center>
 
-
och <math>G</math> är ortogonal projektion på linjen <math>\underline{\boldsymbol{e}}[(1,1,1)]^t</math>. Bestäm Visa <math>V(F)\cap N(G)</math>.
 
-
{{#NAVCONTENT:
 
-
Svar|Svar till övning 5|
 
-
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
 
-
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
 
-
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
 
-
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
 
- 
-
3. Avbildningen <math>F</math> på rummet ges i ON-basen <math>\boldsymbol{e}</math> av matrisen
 
-
<center><math>\left(\begin{array}{rrr} 1& -2& 1\\ 1& -3& 2\\ 1& 2&-3 \end{array}\right).</math></center>
 
-
Bestäm baser för <math>N(F)</math>, <math>V(F)</math>, <math>N(F)\cap V(F)</math>, <math>N(F^2)</math> och <math>V(F^2)</math>.
 
-
{{#NAVCONTENT:
 
-
Svar|Svar till övning 5|
 
-
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
 
-
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
 
-
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
 
-
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
 
- 
-
4. Givet en ON-bas <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> i <math>{\bf E}^3</math>. I denna bas ges avbildningen <math>F</math> av matrisen
 
-
<center><math>\frac{1}{3}\left(\begin{array}{rrr} -2& 1& 1\\ 1& -2& 1\\ 1& 1&-2 \end{array}\right).</math></center>
 
-
Inför en ny bas bestående av vektorer ur <math>N(F)</math> och <math>V(F)</math>. Ange sambandet för <math>F</math> i den nya basen. Tolka <math>F</math> geometriskt.
 
-
{{#NAVCONTENT:
 
-
Svar|Svar till övning 5|
 
-
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
 
-
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
 
-
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
 
-
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
 
- 
-
5. Låt <math>M_{22} </math> vara vektorrummet av alla <math>2\times</math> matriser. Definiera avbildningen <math>F</math> genom
 
-
<center><math> F(A)=\left(\begin{array}{rr} 1&1 \\0 &0 \end{array}\right)A+A\left(\begin{array}{rr} 0&0 \\ 1& 1\end{array}\right).</math></center>
 
-
# Visa att <math>F</math> är en linjär avbildning på <math>M_{22} </math>.
 
-
# Bestäm dim <math>N(F)</math> samt en bas i <math>N(F)</math>
 
-
{{#NAVCONTENT:
 
-
Svar|Svar till övning 5|
 
-
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
 
-
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
 
-
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
 
-
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
 
- 
-
6. Konstruera en matris som representerar en linjär avbildning <math>F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3</math> med
 
-
<center><math>N(F)=[(1,1,1)^t] </math></center>
 
-
och
 
-
<center><math>V(F)=[(1,0,0)^t,(1,1,0)^t]. </math></center>
 
-
{{#NAVCONTENT:
 
-
Svar|Svar till övning 5|
 
-
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
 
-
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
 
-
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
 
-
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
 
- 
-
7. Den linjära avbildningen <math>F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3</math> ges i en given bas av matrisen
 
-
<center><math> \left(\begin{array}{ccc} 1& a+3& a\\ a& 3a+1& 1\\ 2& 4a+4& a+1\end{array}\right),\qquad a\in{\bf R}
 
-
</math></center>
 
-
Ange alla reella tal <math>a</math> sådana att dim <math>V(F)=1</math> och ange i så fall en bas för <math>V(F)</math>.
 
-
{{#NAVCONTENT:
 
-
Svar|Svar till övning 5|
 
-
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
 
-
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
 
-
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
 
-
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
 
- 
-
8. Den linjära avbildningen <math>F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3</math> ges i en given bas av matrisen
 
-
<center><math> \left(\begin{array}{ccc} 1& 1& 3\\ 2& 2& 2a\\ a& -1& 1\end{array}\right),\qquad a\in{\bf R}
 
-
</math></center>
 
-
Ange alla reella tal <math>a</math> sådana att <math>N(F)\cap V(F)\neq\emptyset</math>.
 
-
{{#NAVCONTENT:
 
-
Svar|Svar till övning 5|
 
-
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
 
-
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
 
-
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
 
-
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
 
- 
-
9. Bestäm matrisen till den linjära avbildningen
 
-
<math>F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3</math>
 
-
som i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}</math>
 
-
avbildar de tre vektorerna <math>(1,2,1)^t</math>, <math>(1,1,-1)^t</math> och <math>(-1,0,1)^t</math> på
 
-
<math>(1,3,1)^t</math>, <math>(3,1,2)^t</math> resp. <math>(5,-1,3)^t</math>. Bestäm också <math>V(F)</math>.
 
-
{{#NAVCONTENT:
 
-
Svar|Svar till övning 5|
 
-
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
 
-
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
 
-
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
 
-
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
 
- 
- 
-
=== Basbyte ===
 
- 
-
Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning [[Bild:Kap16_8.pdf||center]]
 
- 
-
'''Övningar'''
 
- 
-
1. Givet två baser <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}</math> och <math>\underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2,\boldsymbol{f}_3\}</math>. Ange följande bassamband
 
-
<center><math>\left\{\begin{array}{rclclcl}
 
-
\boldsymbol{f}_1&=&\boldsymbol{e}_1&+&\boldsymbol{e}_2&+&\boldsymbol{e}_3\\
 
-
\boldsymbol{f}_2&=& & &\boldsymbol{e}_2&-&\boldsymbol{e}_3\\
 
-
\boldsymbol{f}_3&=&\boldsymbol{e}_1&+&\boldsymbol{e}_2&&\end{array}\right.</math></center>
 
-
på matrisform. Ange också det omvända bassambandet samt koordinatsambanden.
 
-
{{#NAVCONTENT:
 
-
Svar|Svar till övning 5|
 
-
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
 
-
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
 
-
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
 
-
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
 
- 
-
2. Givet en bas <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\}</math> i planet. Vi inför en ny bas
 
-
<math>\underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2\}</math> genom att sätta
 
-
<math>\underline{\boldsymbol{f}}=\underline{\boldsymbol{e}}T</math>, där <math>T=\left(\begin{array}{rr} 2& 3\\ 1& 2\end{array}\right).</math>
 
-
En linje har ekvationen <math>x_1+7x_2=0</math> i den gamla basen.
 
-
Vad är dess ekvationen i den nya basen?
 
-
{{#NAVCONTENT:
 
-
Svar|Svar till övning 5|
 
-
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
 
-
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
 
-
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
 
-
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
 
- 
- 
- 
- 
- 
-
=== Linjära avbildningar och basbyte ===
 
- 
-
Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning [[Bild:Kap16_9.pdf||center]]
 
- 
-
'''Övningar'''
 
- 
-
1. Den linjära avbildningen <math>F:{\bf R}^2\rightarrow{\bf R}^2</math> har i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\}</math> har matrisen
 
-
<center><math>A_{\boldsymbol{e}}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{rr} 1& 1\\ -1& 1\end{array}\right). </math></center>
 
-
Ange <math>F</math>:s matris <math>A_{\boldsymbol{f}}</math> i basen
 
-
<center><math>\boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2,\qquad
 
-
\boldsymbol{f}_2=-\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2.</math></center>
 
-
Ange också sambandet mellan koordinaterna i de båda baserna.
 
-
{{#NAVCONTENT:
 
-
Svar|Svar till övning 5|
 
-
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
 
-
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
 
-
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
 
-
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
 
- 
-
2. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}</math> var en bas i rummet och <math>F</math> en linjär avbildning med matrisen
 
-
<center><math>A=\left(\begin{array}{rrr} 2& 0& 1\\ 1& -1& 0\\ 2& 2& 1\end{array}\right). </math></center>
 
-
i denna bas. Vad är matrisen för <math>F</math> i den bas <math>\underline{\boldsymbol{f}}</math> som ges av
 
-
<center><math>
 
-
\boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_2-\boldsymbol{e}_3,\qquad
 
-
\boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3,\qquad
 
-
\boldsymbol{f}_3=-\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2.</math></center>
 
-
{{#NAVCONTENT:
 
-
Svar|Svar till övning 5|
 
-
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
 
-
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
 
-
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
 
-
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
 
- 
-
3. Avbildningen <math>F</math> har i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> matrisen
 
-
<center><math>A=\left(\begin{array}{rrr} 2& 0& 1\\ 1& -1& 0\\ 2& 2& 1\end{array}\right). </math></center>
 
-
Bestäm <math>F</math>:s matris i basen <math>\underline{\boldsymbol{f}}</math> om
 
-
<center><math>
 
-
\boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2,\qquad
 
-
\boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3,\qquad
 
-
\boldsymbol{f}_3=\boldsymbol{e}_1.</math></center>
 
-
{{#NAVCONTENT:
 
-
Svar|Svar till övning 5|
 
-
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
 
-
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
 
-
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
 
-
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
 
- 
-
4. Antag att <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}</math> är en bas i <math>{\bf R}^3</math> och låt den linjära avbildningen
 
-
<math>F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3</math> definieras genom
 
-
<center><math>
 
-
F(\boldsymbol{e}_1)=\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_3,\qquad
 
-
F(\boldsymbol{e}_2)=\boldsymbol{e}_1+3\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3\qquad
 
-
F(\boldsymbol{e}_3)=2\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3.</math></center>
 
-
Bestäm matrisen till <math>F</math> med avseende på basen
 
-
<math>\underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2,\boldsymbol{f}_3\}</math>, där
 
-
<center><math>
 
-
\boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_1\qquad
 
-
\boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2,\qquad
 
-
\boldsymbol{f}_3=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3.</math></center>
 
-
{{#NAVCONTENT:
 
-
Svar|Svar till övning 5|
 
-
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
 
-
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
 
-
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
 
-
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
 
- 
-
5. Visa att matriserna
 
-
<center><math>
 
-
A=\left(\begin{array}{rrr} 0& -1& 0\\ 1& 0& 1\\ 1& 2& 3\end{array}\right)\qquad och\qquad
 
-
B=\left(\begin{array}{rrr} 1& 0& 1\\ 1& 2& 0\\ -1& 0& 3\end{array}\right)</math></center>
 
-
ej kan representera samma linjära avbildning <math>F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3</math>.
 
-
{{#NAVCONTENT:
 
-
Svar|Svar till övning 5|
 
-
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
 
-
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
 
-
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
 
-
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
 
- 
- 
- 
- 
-
=== Projektioner och speglingar med basbyte ===
 
- 
-
Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning [[Bild:Kap16_10.pdf||center]]
 
- 
-
'''Övningar'''
 
- 
-
1. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\}</math> vara en ON-bas i planet.
 
-
Inför en ny bas <math>\underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2\}</math>
 
-
genom
 
-
<center><math>
 
-
\left\{\begin{array}{lcl}\boldsymbol{f}_1&=&\frac{1}{\sqrt5}(\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2)\\ \boldsymbol{f}_2&=&\frac{1}{\sqrt5}(2\boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2)\end{array}\right.
 
-
</math></center>
 
-
Låt <math>F</math> vara ortogonal projektion på linjen <math>x_1+2x_2=0</math>. Ange <math>F</math>:s matris i basen
 
-
<math>\underline{\boldsymbol{f}}</math>
 
-
och beräkna med hjälp av bassambandet <math>F</math>:s matris i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math>.
 
-
{{#NAVCONTENT:
 
-
Svar|Svar till övning 5|
 
-
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
 
-
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
 
-
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
 
-
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
 
- 
-
2. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\}</math> vara en ON-bas i planet.
 
-
Inför en ny bas <math>\underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2\}</math>
 
-
genom
 
-
<center><math>
 
-
\left\{\begin{array}{lcl}\boldsymbol{f}_1&=&\frac{1}{\sqrt5}(\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2)\\ \boldsymbol{f}_2&=&\frac{1}{\sqrt5}(2\boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2)\end{array}\right.
 
-
</math></center>
 
-
Låt <math>F</math> vara spegling i linjen <math>x_1+2x_2=0</math>. Ange <math>F</math>:s matris i basen
 
-
<math>\underline{\boldsymbol{f}}</math>
 
-
och beräkna med hjälp av bassambandet <math>F</math>:s matris i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math>.
 
-
{{#NAVCONTENT:
 
-
Svar|Svar till övning 5|
 
-
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
 
-
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
 
-
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
 
-
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
 
- 
-
3. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> vara en ON-bas i rummet och låt <math>F</math> vara en ortogonal projektion på planet
 
-
<math>x_1+x_2+x_3=0</math>. Välj en lämplig ny bas <math>\underline{\boldsymbol{f}}</math> och ange <math>F</math>:s matris i denna. Beräkna med hjälp av bassambanden matrisen i basen
 
-
<math>\underline{\boldsymbol{e}}</math>.
 
-
{{#NAVCONTENT:
 
-
Svar|Svar till övning 5|
 
-
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
 
-
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
 
-
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
 
-
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
 
- 
- 
- 
-
=== Rotationer ===
 
- 
-
Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning [[Bild:Kap16_11.pdf||center]]
 
- 
-
'''Övningar'''
 
- 
- 
-
1. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> vara en höger ON-bas i rummet och <math>F</math> rotation <math>2\pi/3</math> i positiv led runt
 
-
<math>\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3</math>.
 
-
Beräkna avbildningens matris i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math>.
 
-
{{#NAVCONTENT:
 
-
Svar|Svar till övning 5|
 
-
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
 
-
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
 
-
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
 
-
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
 

Nuvarande version

I det här kapitlet ...


16.1 Definition av linjär avbildning

16.2 Matrisframställning

16.3 Projektion och spegling

16.4 Plan rotation

16.5 Rotation i rummet

16.6 Sammansatta linjära avbildningar

16.7 Nollrum, Värderum och dimensionssatsen

16.8 Basbyte

16.9 Linjära avbildningar och basbyte

16.10 Projektioner och speglingar med basbyte

16.11 Rotationer

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/16._Linj%C3%A4ra_avbildningar