16. Linjära avbildningar

=== Sammansatta linjära avbildningar ===

Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning [[Bild:Kap16_6.pdf||center]]

'''Övningar'''

1. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> vara en bas för <math>V</math>, där dim <math> V=2</math>.

Antag att <math>F:V\rightarrow V</math> är en linjär avbildning som uppfyller

<center><math>\left\{\begin{array}{lcr}F(\boldsymbol{e}_1)&=&\frac{1}{\sqrt2}(\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2)\\ F(\boldsymbol{e}_2)&=&\frac{1}{\sqrt2}(-\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2)\end{array}\right.</math></center>

Bestäm matrisen för <math>F^2</math> i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math>.

{{#NAVCONTENT:

Svar|Svar till övning 3|

Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|

Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|

Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|

Lösning|Lösning till övning 17.21}}

=== Nollrum, Värderum och dimensionssatsen ===

Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning [[Bild:Kap16_7.pdf||center]]

'''Övningar'''

1. Låt <math>F</math> vara en avbildning på rummet som i basen <math>\boldsymbol{e}</math> ges av matrisen

<center><math> A=\left(\begin{array}{rrr} 3& -1& -1\\ 2& 0& -1\\ 4& -2& -1\end{array}\right).</math></center>

Bestäm <math>N(F)</math> och <math>V(F)</math>. Visa <math>N(F)\cap V(F)=\boldsymbol{0}</math>. Hur avbildas vektorerna i och <math>V(F)</math>?

{{#NAVCONTENT:

Svar|Svar till övning 5|

Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|

Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|

Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|

Lösning|Lösning till övning 17.21}}

2. Avbildningen <math>F</math> på rummet ges i ON-basen <math>\boldsymbol{e}</math> av matrisen

<center><math>\left(\begin{array}{rrr} 2& -1& -1\\ 1& 0& -1\\ 1& -1&0 \end{array}\right)</math></center>

och <math>G</math> är ortogonal projektion på linjen <math>\underline{\boldsymbol{e}}[(1,1,1)]^t</math>. Bestäm Visa <math>V(F)\cap N(G)</math>.

{{#NAVCONTENT:

Svar|Svar till övning 5|

Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|

Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|

Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|

Lösning|Lösning till övning 17.21}}

3. Avbildningen <math>F</math> på rummet ges i ON-basen <math>\boldsymbol{e}</math> av matrisen

<center><math>\left(\begin{array}{rrr} 1& -2& 1\\ 1& -3& 2\\ 1& 2&-3 \end{array}\right).</math></center>

Bestäm baser för <math>N(F)</math>, <math>V(F)</math>, <math>N(F)\cap V(F)</math>, <math>N(F^2)</math> och <math>V(F^2)</math>.

{{#NAVCONTENT:

Svar|Svar till övning 5|

Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|

Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|

Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|

Lösning|Lösning till övning 17.21}}

4. Givet en ON-bas <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> i <math>{\bf E}^3</math>. I denna bas ges avbildningen <math>F</math> av matrisen

<center><math>\frac{1}{3}\left(\begin{array}{rrr} -2& 1& 1\\ 1& -2& 1\\ 1& 1&-2 \end{array}\right).</math></center>

Inför en ny bas bestående av vektorer ur <math>N(F)</math> och <math>V(F)</math>. Ange sambandet för <math>F</math> i den nya basen. Tolka <math>F</math> geometriskt.

{{#NAVCONTENT:

Svar|Svar till övning 5|

Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|

Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|

Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|

Lösning|Lösning till övning 17.21}}

5. Låt <math>M_{22} </math> vara vektorrummet av alla <math>2\times</math> matriser. Definiera avbildningen <math>F</math> genom

<center><math> F(A)=\left(\begin{array}{rr} 1&1 \\0 &0 \end{array}\right)A+A\left(\begin{array}{rr} 0&0 \\ 1& 1\end{array}\right).</math></center>

# Visa att <math>F</math> är en linjär avbildning på <math>M_{22} </math>.

# Bestäm dim <math>N(F)</math> samt en bas i <math>N(F)</math>

{{#NAVCONTENT:

Svar|Svar till övning 5|

Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|

Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|

Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|

Lösning|Lösning till övning 17.21}}

6. Konstruera en matris som representerar en linjär avbildning <math>F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3</math> med

<center><math>N(F)=[(1,1,1)^t] </math></center>

och

<center><math>V(F)=[(1,0,0)^t,(1,1,0)^t]. </math></center>

{{#NAVCONTENT:

Svar|Svar till övning 5|

Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|

Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|

Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|

Lösning|Lösning till övning 17.21}}

7. Den linjära avbildningen <math>F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3</math> ges i en given bas av matrisen

<center><math> \left(\begin{array}{ccc} 1& a+3& a\\ a& 3a+1& 1\\ 2& 4a+4& a+1\end{array}\right),\qquad a\in{\bf R}

</math></center>

Ange alla reella tal <math>a</math> sådana att dim <math>V(F)=1</math> och ange i så fall en bas för <math>V(F)</math>.

{{#NAVCONTENT:

Svar|Svar till övning 5|

Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|

Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|

Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|

Lösning|Lösning till övning 17.21}}

8. Den linjära avbildningen <math>F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3</math> ges i en given bas av matrisen

<center><math> \left(\begin{array}{ccc} 1& 1& 3\\ 2& 2& 2a\\ a& -1& 1\end{array}\right),\qquad a\in{\bf R}

</math></center>

Ange alla reella tal <math>a</math> sådana att <math>N(F)\cap V(F)\neq\emptyset</math>.

{{#NAVCONTENT:

Svar|Svar till övning 5|

Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|

Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|

Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|

Lösning|Lösning till övning 17.21}}

9. Bestäm matrisen till den linjära avbildningen

<math>F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3</math>

som i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}</math>

avbildar de tre vektorerna <math>(1,2,1)^t</math>, <math>(1,1,-1)^t</math> och <math>(-1,0,1)^t</math> på

<math>(1,3,1)^t</math>, <math>(3,1,2)^t</math> resp. <math>(5,-1,3)^t</math>. Bestäm också <math>V(F)</math>.

{{#NAVCONTENT:

Svar|Svar till övning 5|

Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|

Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|

Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|

Lösning|Lösning till övning 17.21}}

=== Basbyte ===

Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning [[Bild:Kap16_8.pdf||center]]

'''Övningar'''

1. Givet två baser <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}</math> och <math>\underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2,\boldsymbol{f}_3\}</math>. Ange följande bassamband

<center><math>\left\{\begin{array}{rclclcl}

\boldsymbol{f}_1&=&\boldsymbol{e}_1&+&\boldsymbol{e}_2&+&\boldsymbol{e}_3\\

\boldsymbol{f}_2&=& & &\boldsymbol{e}_2&-&\boldsymbol{e}_3\\

\boldsymbol{f}_3&=&\boldsymbol{e}_1&+&\boldsymbol{e}_2&&\end{array}\right.</math></center>

på matrisform. Ange också det omvända bassambandet samt koordinatsambanden.

{{#NAVCONTENT:

Svar|Svar till övning 5|

Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|

Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|

Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|

Lösning|Lösning till övning 17.21}}

2. Givet en bas <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\}</math> i planet. Vi inför en ny bas

<math>\underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2\}</math> genom att sätta

<math>\underline{\boldsymbol{f}}=\underline{\boldsymbol{e}}T</math>, där <math>T=\left(\begin{array}{rr} 2& 3\\ 1& 2\end{array}\right).</math>

En linje har ekvationen <math>x_1+7x_2=0</math> i den gamla basen.

Vad är dess ekvationen i den nya basen?

{{#NAVCONTENT:

Svar|Svar till övning 5|

Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|

Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|

Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|

Lösning|Lösning till övning 17.21}}

=== Linjära avbildningar och basbyte ===

Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning [[Bild:Kap16_9.pdf||center]]

'''Övningar'''

1. Den linjära avbildningen <math>F:{\bf R}^2\rightarrow{\bf R}^2</math> har i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\}</math> har matrisen

<center><math>A_{\boldsymbol{e}}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{rr} 1& 1\\ -1& 1\end{array}\right). </math></center>

Ange <math>F</math>:s matris <math>A_{\boldsymbol{f}}</math> i basen

<center><math>\boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2,\qquad

\boldsymbol{f}_2=-\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2.</math></center>

Ange också sambandet mellan koordinaterna i de båda baserna.

{{#NAVCONTENT:

Svar|Svar till övning 5|

Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|

Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|

Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|

Lösning|Lösning till övning 17.21}}

2. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}</math> var en bas i rummet och <math>F</math> en linjär avbildning med matrisen

<center><math>A=\left(\begin{array}{rrr} 2& 0& 1\\ 1& -1& 0\\ 2& 2& 1\end{array}\right). </math></center>

i denna bas. Vad är matrisen för <math>F</math> i den bas <math>\underline{\boldsymbol{f}}</math> som ges av

<center><math>

\boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_2-\boldsymbol{e}_3,\qquad

\boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3,\qquad

\boldsymbol{f}_3=-\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2.</math></center>

{{#NAVCONTENT:

Svar|Svar till övning 5|

Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|

Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|

Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|

Lösning|Lösning till övning 17.21}}

3. Avbildningen <math>F</math> har i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> matrisen

<center><math>A=\left(\begin{array}{rrr} 2& 0& 1\\ 1& -1& 0\\ 2& 2& 1\end{array}\right). </math></center>

Bestäm <math>F</math>:s matris i basen <math>\underline{\boldsymbol{f}}</math> om

<center><math>

\boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2,\qquad

\boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3,\qquad

\boldsymbol{f}_3=\boldsymbol{e}_1.</math></center>

{{#NAVCONTENT:

Svar|Svar till övning 5|

Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|

Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|

Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|

Lösning|Lösning till övning 17.21}}

4. Antag att <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}</math> är en bas i <math>{\bf R}^3</math> och låt den linjära avbildningen

<math>F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3</math> definieras genom

<center><math>

F(\boldsymbol{e}_1)=\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_3,\qquad

F(\boldsymbol{e}_2)=\boldsymbol{e}_1+3\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3\qquad

F(\boldsymbol{e}_3)=2\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3.</math></center>

Bestäm matrisen till <math>F</math> med avseende på basen

<math>\underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2,\boldsymbol{f}_3\}</math>, där

<center><math>

\boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_1\qquad

\boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2,\qquad

\boldsymbol{f}_3=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3.</math></center>

{{#NAVCONTENT:

Svar|Svar till övning 5|

Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|

Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|

Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|

Lösning|Lösning till övning 17.21}}

5. Visa att matriserna

<center><math>

A=\left(\begin{array}{rrr} 0& -1& 0\\ 1& 0& 1\\ 1& 2& 3\end{array}\right)\qquad och\qquad

B=\left(\begin{array}{rrr} 1& 0& 1\\ 1& 2& 0\\ -1& 0& 3\end{array}\right)</math></center>

ej kan representera samma linjära avbildning <math>F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3</math>.

{{#NAVCONTENT:

Svar|Svar till övning 5|

Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|

Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|

Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|

Lösning|Lösning till övning 17.21}}

=== Projektioner och speglingar med basbyte ===

Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning [[Bild:Kap16_10.pdf||center]]

'''Övningar'''

1. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\}</math> vara en ON-bas i planet.

Inför en ny bas <math>\underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2\}</math>

genom

<center><math>

\left\{\begin{array}{lcl}\boldsymbol{f}_1&=&\frac{1}{\sqrt5}(\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2)\\ \boldsymbol{f}_2&=&\frac{1}{\sqrt5}(2\boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2)\end{array}\right.

</math></center>

Låt <math>F</math> vara ortogonal projektion på linjen <math>x_1+2x_2=0</math>. Ange <math>F</math>:s matris i basen

<math>\underline{\boldsymbol{f}}</math>

och beräkna med hjälp av bassambandet <math>F</math>:s matris i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math>.

{{#NAVCONTENT:

Svar|Svar till övning 5|

Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|

Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|

Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|

Lösning|Lösning till övning 17.21}}

2. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\}</math> vara en ON-bas i planet.

Inför en ny bas <math>\underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2\}</math>

genom

<center><math>

\left\{\begin{array}{lcl}\boldsymbol{f}_1&=&\frac{1}{\sqrt5}(\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2)\\ \boldsymbol{f}_2&=&\frac{1}{\sqrt5}(2\boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2)\end{array}\right.

</math></center>

Låt <math>F</math> vara spegling i linjen <math>x_1+2x_2=0</math>. Ange <math>F</math>:s matris i basen

<math>\underline{\boldsymbol{f}}</math>

och beräkna med hjälp av bassambandet <math>F</math>:s matris i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math>.

{{#NAVCONTENT:

Svar|Svar till övning 5|

Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|

Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|

Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|

Lösning|Lösning till övning 17.21}}

3. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> vara en ON-bas i rummet och låt <math>F</math> vara en ortogonal projektion på planet

<math>x_1+x_2+x_3=0</math>. Välj en lämplig ny bas <math>\underline{\boldsymbol{f}}</math> och ange <math>F</math>:s matris i denna. Beräkna med hjälp av bassambanden matrisen i basen

<math>\underline{\boldsymbol{e}}</math>.

{{#NAVCONTENT:

Svar|Svar till övning 5|

Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|

Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|

Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|

Lösning|Lösning till övning 17.21}}

=== Rotationer ===

Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning [[Bild:Kap16_11.pdf||center]]

'''Övningar'''

1. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> vara en höger ON-bas i rummet och <math>F</math> rotation <math>2\pi/3</math> i positiv led runt

<math>\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3</math>.

Beräkna avbildningens matris i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math>.

{{#NAVCONTENT:

Svar|Svar till övning 5|

Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|

Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|

Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|

Lösning|Lösning till övning 17.21}}