2.3 Bas
SamverkanLinalgLIU
| Rad 47: | Rad 47: | ||
\left\{\begin{array}{lcl} | \left\{\begin{array}{lcl} | ||
\boldsymbol{f}_1&=&\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2\\ | \boldsymbol{f}_1&=&\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2\\ | ||
| - | \boldsymbol{f} | + | \boldsymbol{f}_2&=&\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2-\boldsymbol{e}_3\\ |
| - | \boldsymbol{f} | + | \boldsymbol{f}_3&=&\boldsymbol{e}_2-\boldsymbol{e}_3\end{array}\right. |
</math></center> | </math></center> | ||
är en bas och bestäm koordinaterna för <math>\boldsymbol{u}=2\boldsymbol{e}_1+3\boldsymbol{e}_2-2\boldsymbol{e}_3</math> i basen | är en bas och bestäm koordinaterna för <math>\boldsymbol{u}=2\boldsymbol{e}_1+3\boldsymbol{e}_2-2\boldsymbol{e}_3</math> i basen | ||
| Rad 66: | Rad 66: | ||
\left\{\begin{array}{lcl} | \left\{\begin{array}{lcl} | ||
\boldsymbol{f}_1&=&\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3\\ | \boldsymbol{f}_1&=&\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3\\ | ||
| - | \boldsymbol{f} | + | \boldsymbol{f}_2&=&-\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3\\ |
| - | \boldsymbol{f} | + | \boldsymbol{f}_3&=&\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_3\end{array}\right. |
</math></center> | </math></center> | ||
är en bas för rummet. Vilka vektorer har samma koordinater i de båda baserna? | är en bas för rummet. Vilka vektorer har samma koordinater i de båda baserna? | ||
| Rad 78: | Rad 78: | ||
<div class="ovning"> | <div class="ovning"> | ||
===Övning 3.18=== | ===Övning 3.18=== | ||
| - | + | Låt <math>\boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3</math> | |
| - | + | <math>\boldsymbol{f}_2=-\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3</math> | |
| + | som i Övning 3.17. Ange alla vektorer som inte är en linjärkombination av <math>\boldsymbol{f}_1</math> och <math>\boldsymbol{f}_2</math>. Hur ska <math>\boldsymbol{f}_3</math> väljas så att <math>\boldsymbol{f}_1</math>, <math>\boldsymbol{f}_2</math> och <math>\boldsymbol{f}_3</math> blir en ny bas för rummet där vektorn <math>\boldsymbol{u}=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3</math> har koordiaterna <math>\boldsymbol{u}=\boldsymbol{f}_1+\boldsymbol{f}_2+\boldsymbol{f}_3</math>? | ||
</div>{{#NAVCONTENT: | </div>{{#NAVCONTENT: | ||
Svar|Svar till övning 3.18| | Svar|Svar till övning 3.18| | ||
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.18}} | Tips och lösning|Tips och lösning till övning 3.18}} | ||
Versionen från 19 augusti 2010 kl. 11.35
| 2.1 | 2.2 | 2.3 |
Läs textavsnitt 2.3 Bas.
Du har nu läst definitionen på bas och här kommer några övningar som testar om du har tagit till dig stoffet.
Innehåll |
Övning 3.14
Visa att vektorn \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\-7\\1\end{pmatrix} ligger i samma plan som vektorerna \displaystyle \boldsymbol{v}_1=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{v}_2=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}. Bestäm koordinaterna för \displaystyle \boldsymbol{u} i basen \displaystyle \{\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2}\}.
Hämtar...
Övning 3.15
Visa att
\left\{\begin{array}{lcl}\boldsymbol{f}_1&=&-\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2\\ \boldsymbol{f}_2&=&3\boldsymbol{e}_1+4\boldsymbol{e}_2\end{array}\right.
är en bas och bestäm koordinaterna för \displaystyle \boldsymbol{u}=4\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2 i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_{1},\boldsymbol{f}_{2}\}.
Övning 3.16
Visa att
\left\{\begin{array}{lcl} \boldsymbol{f}_1&=&\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2\\ \boldsymbol{f}_2&=&\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2-\boldsymbol{e}_3\\ \boldsymbol{f}_3&=&\boldsymbol{e}_2-\boldsymbol{e}_3\end{array}\right.
är en bas och bestäm koordinaterna för \displaystyle \boldsymbol{u}=2\boldsymbol{e}_1+3\boldsymbol{e}_2-2\boldsymbol{e}_3 i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_{1},\boldsymbol{f}_{2},\boldsymbol{f}_3\}.
Övning 3.17
Visa att
\left\{\begin{array}{lcl} \boldsymbol{f}_1&=&\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3\\ \boldsymbol{f}_2&=&-\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3\\ \boldsymbol{f}_3&=&\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_3\end{array}\right.
är en bas för rummet. Vilka vektorer har samma koordinater i de båda baserna?
Övning 3.18
Låt \displaystyle \boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3 \displaystyle \boldsymbol{f}_2=-\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3 som i Övning 3.17. Ange alla vektorer som inte är en linjärkombination av \displaystyle \boldsymbol{f}_1 och \displaystyle \boldsymbol{f}_2. Hur ska \displaystyle \boldsymbol{f}_3 väljas så att \displaystyle \boldsymbol{f}_1, \displaystyle \boldsymbol{f}_2 och \displaystyle \boldsymbol{f}_3 blir en ny bas för rummet där vektorn \displaystyle \boldsymbol{u}=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3 har koordiaterna \displaystyle \boldsymbol{u}=\boldsymbol{f}_1+\boldsymbol{f}_2+\boldsymbol{f}_3?
