Tips och lösning till U 22.22a
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Sats 20.4 och 20.5 ger oss den teoretiska basen för att lösa detta exempel.
Tips 2
Vi går tillväga på följande sätt:
1. Vi vet att vi kan skriva om denna kvadratiska form med en symmetrisk matris så vi börjar med det.
2. Eftersom vi har en symmetrisk matris säger spektralsatsen att vi kan diagonalisera matrisen, dvs vi byter bas till en bas av egenvektorer. Egenvärdena bildar diagonal i den nya matrisen.
3. Eftersom vi bara har element skilda från noll i diagonalen och övriga element i matrisen är noll har vi nått målet att få bort alla blandade termer.
Tips 3
Steg 1 ger5x_1^2+5x_2^2+5x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3=1
(x_1\ x_2\ x_3) \left(\begin{array}{rrr}5&1&1\\1&5&1\\1&1&5\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)=1
(y_1\ y_2\ y_3) \left(\begin{array}{rrr}7&0&0\\0&4&0\\0&0&4\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}y_1\\y_2\\y_3\end{array}\right)=1
7y_1^2+4y_2^2+4y_3^2=1.
Med hjälp av figur 20.15 kan vi sedan avgöra att detta är en ellipsoid.
Lösning
Vi skriver ekvationen på matrisform och får
5x_1^2+5x_2^2+5x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3=1
(x_1\ x_2\ x_3) \left(\begin{array}{rrr}5&1&1\\1&5&1\\1&1&5\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)=1
Matrisen \displaystyle A är symmetrisk och då säger spektralsatsen att \displaystyle A är
diagonaliserbar.
Egenvärdena till \displaystyle A är \displaystyle \lambda_1=7 , \displaystyle \lambda_2=4 och \displaystyle \lambda_3=4 . Tillhörande ON-bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} av egenvektorer är \displaystyle \boldsymbol{f}_1=\frac{1}{\sqrt3}\left(\begin{array}{r} 1\\1\\1\end{array}\right) , \displaystyle \boldsymbol{f}_2=\frac{1}{\sqrt2}\left(\begin{array}{r} -1\\0\\1\end{array}\right) resp. \displaystyle \boldsymbol{f}_3=\frac{1}{\sqrt6}\left(\begin{array}{r}1\\-2\\1\end{array}\right) .
Alltså är \displaystyle A diagonaliserbar med \displaystyle A=TDT^{t} , där \displaystyle D=\left(\begin{array}{rrr}7&0&0\\0&4&0\\0&0&4\end{array}\right) och
\displaystyle T=\left(\begin{array}{rrr}{1/\sqrt3}&{-1/\sqrt2}&{1/\sqrt6}\\{1/\sqrt3}&0&{-2/\sqrt6}\\{1/\sqrt3}&{1/\sqrt2}&{1/\sqrt6}\end{array}\right) är ortogonal. Ekvationen kan i den nya ON-basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} och med nya koordinater \displaystyle Y , där \displaystyle X=TY skrivas
5x_1^2+5x_2^2+5x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3=1
X^tAX=1 \Leftrightarrow (TY)^tTDT^tTY=1 \Leftrightarrow Y^tT^tTDT^{t}TY=1 \Leftrightarrow Y^tDY=1
(y_1\ y_2\ y_3) \left(\begin{array}{rrr}7&0&0\\0&4&0\\0&0&4\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}y_1\\y_2\\y_3\end{array}\right)=1
7y_1^2+4y_2^2+4y_3^2=1.
Detta visar att ekvationen beskriver en ellipsoid.
