Tips och lösning till U 13.18
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Bestäm en ON-Bas för \displaystyle W och använd formlerna för ortogonal projektion.
Tips 2
Läs Exempel 12.30.
Tips 3
Eftersom \displaystyle W är ett plan så kan normalen \displaystyle \boldsymbol{n}\ bestämmas. Bestäm ortogonala projektionen på \displaystyle \boldsymbol{n}.
Lösning
Gram-Schmidt process ger att \displaystyle W=[\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2]=[\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2]\subset{\bf E}^3, där \displaystyle \{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2\} är en ON-bas för \displaystyle W. Eftersom \displaystyle W är ett plan genom origo kan vi bestämma dess normal \displaystyle \boldsymbol{n}=\boldsymbol{e}_1\times\boldsymbol{e}_2=(1,1,1)^t. Sätt \displaystyle \boldsymbol{e}_3=\frac{\boldsymbol{n}}{||\boldsymbol{n}||}=\frac{1}{\sqrt3}(1,1,1)^t. Då är
\begin{array}{rcl} P_{W^{\perp}}(\boldsymbol{u})&=&(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_3)\boldsymbol{e}_3
=\frac{1}{3}\left\{\left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)\cdot
\left(\begin{array}{r}1\\1\\1\end{array}\right)\right\}
\left(\begin{array}{r}1\\1\\1\end{array}\right)\\
&=&\frac{1}{3}\left(\begin{array}{rrr}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{array}\right)
\left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right) \end{array}
Matrisen till \displaystyle P_{W^{\perp}} är alltså \displaystyle \frac{1}{3}\left(\begin{array}{rrr}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{array}\right).
Vidare är
P_W(\boldsymbol{u}) = (\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_1)\boldsymbol{e}_1+(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_2)\boldsymbol{e}_2 = \boldsymbol{u} - P_{W^{\perp}}(\boldsymbol{u})
Dvs
P_W(\boldsymbol{u}) = \left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right) - \frac{1}{3}\left(\begin{array}{rrr}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right) = \frac{1}{3} \left(\begin{array}{err}2&-1&-1\\-1&2&-1\\-1&-1&2\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)
Matrisen till \displaystyle P_W är alltså \displaystyle \frac{1}{3}\left(\begin{array}{err}2&-1&-1\\-1&2&-1\\-1&-1&2\end{array}\right).
