Tips och lösning till övning 3.11b
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Tänk geometriskt! Rita gärna en liten figur.
Tips 2
De vektorer som ligger i båda planen ligger i skärningslinjen mellan de två planen..
Tips 3
Du får ett ekvationssystem att lösa som består av de två planens ekvationer. Glöm ej att jämföra det resultat du får med de geometriska tänk du startade med. Vidare kan du kontrollera att din vektor ligger i båda planen, dvs att koordinaterna uppfyller ekvationenerna för de två planen.
Lösning
Snittmängden \displaystyle U\cap W består av alla gemensamma vektorer som
finns i både \displaystyle U och \displaystyle W . Detta betyder att en vektor tillhör snittet
om vektorn ligger i båda planen, dvs i skärningsmängden. Alltså,
\left\{\begin{array}{lcl}2x_1-3x_2+x_3&=&0\\17x_1-28x_2+8x_3&=&0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl}2x_1-3x_2+x_3&=&0\\5x_2+x_3&=&0\end{array}\right.
Vi sätter x\displaystyle x_2=t och får att \displaystyle x_3=-5t och \displaystyle x_1=4t.
Alltså för att \displaystyle \boldsymbol{u} skall få tillhöra snittet \displaystyle U\cap W så måste
\displaystyle \boldsymbol{u} ha formen
\displaystyle \boldsymbol{u} = t\begin{pmatrix}4\\1\\-5\end{pmatrix}.
Alltså är
U\cap W=\left\{\boldsymbol{u}:\ \boldsymbol{u} = t\begin{pmatrix}4\\1\\-5\end{pmatrix},\ t\in{\bf R}\right\}.
