Tips och lösning till övning 3.11a

SamverkanLinalgLIU

Hoppa till: navigering, sök

Tips 1

Definition 2.1 ger dej definitionen på linjärkombination

Tips 2

Sätt tex \displaystyle \boldsymbol{u} = \begin{pmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\end{pmatrix}. Definition av linjärkombination leder då till ekvationssystemet \displaystyle \lambda_1 \boldsymbol{u}_1 +\lambda_2 \boldsymbol{u}_2=\boldsymbol{u}\Leftrightarrow\lambda_1 \begin{pmatrix}{4}\\{1}\\{-5}\end{pmatrix}+\lambda_2 \begin{pmatrix}{4}\\{3}\\{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\end{pmatrix}

Tips 3

Lös nu ekvationssystemet genom att multiplicera in dina lambda. Detta leder till en plan genom origo

Lösning



Mängden \displaystyle W består av alla \displaystyle \boldsymbol{u}= \begin{pmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\end{pmatrix} sådana att

\displaystyle \lambda_1 \boldsymbol{u}_1 +\lambda_2 \boldsymbol{u}_3=\boldsymbol{u} 
                      \Leftrightarrow
                \lambda_1 \begin{pmatrix}4\\1\\{-5}\end{pmatrix}+\lambda_2
\begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\end{pmatrix},

dvs

\displaystyle

\left(\begin{array}{rr} 4&4\\ 1&3\\ -5&2 \end{array}\right|\left.\begin{array}{c} x_1\\x_2\\ x_3\end{array}\right) \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rr} 0&-8\\ 1&3\\ 0&0 \end{array}\right|\left.\begin{array}{l} x_1-4x_2\\x_2\\ 17x_1-28x_2+8x_3\end{array}\right).

\displaystyle W är alltså mängden av alla vektorer vars koordinater uppfyller

\displaystyle 17x_1-28x_2+8x_3=0.

Vi får därmed att

\displaystyle W=\left\{\boldsymbol{u}=\begin{pmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\end{pmatrix}:\ 17x_1-28x_2+8x_3=0\right\}

som är då ett plan genom origo.

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_%C3%B6vning_3.11a