Tips och lösning till övning 3.10b

Tips 1

Jämför de två resultaten vid beräkning av \displaystyle U och \displaystyle V .

Tips 2

Hur förklara du att de två ekvationerna kan vara lika? Rita en figur som visar rimligheten att så är fallet.

Tips 3

Två par av vektorer som alla ligger i samma plan kan vara linjärkombinationer av varandra

Lösning

Mängderna \displaystyle U och \displaystyle V är identiska eftersom det är samma plan. Detta kan förklaras på följande sätt. Vi vet att vektorerna \displaystyle \boldsymbol{u}_1 och \displaystyle \boldsymbol{u}_3 spänner upp \displaystyle V samt att \displaystyle \boldsymbol{v}_1 och \displaystyle \boldsymbol{v}_2 spänner upp \displaystyle U . Eftersom \displaystyle \boldsymbol{u}_1 och \displaystyle \boldsymbol{u}_3 är linjärkombinationer i \displaystyle \boldsymbol{v}_1 och \displaystyle \boldsymbol{v}_2 kommer hela mängden \displaystyle V att ligga i \displaystyle U . Å andra sidan är \displaystyle \boldsymbol{v}_1 och \displaystyle \boldsymbol{v}_2 också linjärkombinationer i \displaystyle \boldsymbol{u}_1 och \displaystyle \boldsymbol{u}_3 , så \displaystyle U måste ligga i \displaystyle V . Alltså måste gälla att \displaystyle U =V.